Решить самостоятельно. Найти точки экстремума функции a) y = 2x³ +6x²-3; 6) y = x³-3x²-7; B) y = 4x³-6x²+1; г) y = 2x³-3x²+7; д) у = х³-х²-x+6.

Решим самостоятельно. Найдем точки экстремума функции.

а) Давай найдем точки экстремума функции \( y = 2x^3 + 6x^2 - 3 \). Сначала найдем первую производную: \[ y' = 6x^2 + 12x \] Затем приравняем первую производную к нулю и решим уравнение: \[ 6x^2 + 12x = 0 \] \[ 6x(x + 2) = 0 \] Корни этого уравнения: \( x_1 = 0 \) и \( x_2 = -2 \). Теперь найдем вторую производную: \[ y'' = 12x + 12 \] Вычислим значения второй производной в найденных точках: \[ y''(-2) = 12(-2) + 12 = -24 + 12 = -12 \] \[ y''(0) = 12(0) + 12 = 12 \] Так как \( y''(-2) < 0 \), то \( x = -2 \) - точка максимума. Так как \( y''(0) > 0 \), то \( x = 0 \) - точка минимума. б) Давай найдем точки экстремума функции \( y = x^3 - 3x^2 - 7 \). Сначала найдем первую производную: \[ y' = 3x^2 - 6x \] Затем приравняем первую производную к нулю и решим уравнение: \[ 3x^2 - 6x = 0 \] \[ 3x(x - 2) = 0 \] Корни этого уравнения: \( x_1 = 0 \) и \( x_2 = 2 \). Теперь найдем вторую производную: \[ y'' = 6x - 6 \] Вычислим значения второй производной в найденных точках: \[ y''(0) = 6(0) - 6 = -6 \] \[ y''(2) = 6(2) - 6 = 12 - 6 = 6 \] Так как \( y''(0) < 0 \), то \( x = 0 \) - точка максимума. Так как \( y''(2) > 0 \), то \( x = 2 \) - точка минимума. в) Давай найдем точки экстремума функции \( y = 4x^3 - 6x^2 + 1 \). Сначала найдем первую производную: \[ y' = 12x^2 - 12x \] Затем приравняем первую производную к нулю и решим уравнение: \[ 12x^2 - 12x = 0 \] \[ 12x(x - 1) = 0 \] Корни этого уравнения: \( x_1 = 0 \) и \( x_2 = 1 \). Теперь найдем вторую производную: \[ y'' = 24x - 12 \] Вычислим значения второй производной в найденных точках: \[ y''(0) = 24(0) - 12 = -12 \] \[ y''(1) = 24(1) - 12 = 12 \] Так как \( y''(0) < 0 \), то \( x = 0 \) - точка максимума. Так как \( y''(1) > 0 \), то \( x = 1 \) - точка минимума. г) Давай найдем точки экстремума функции \( y = 2x^3 - 3x^2 + 7 \). Сначала найдем первую производную: \[ y' = 6x^2 - 6x \] Затем приравняем первую производную к нулю и решим уравнение: \[ 6x^2 - 6x = 0 \] \[ 6x(x - 1) = 0 \] Корни этого уравнения: \( x_1 = 0 \) и \( x_2 = 1 \). Теперь найдем вторую производную: \[ y'' = 12x - 6 \] Вычислим значения второй производной в найденных точках: \[ y''(0) = 12(0) - 6 = -6 \] \[ y''(1) = 12(1) - 6 = 6 \] Так как \( y''(0) < 0 \), то \( x = 0 \) - точка максимума. Так как \( y''(1) > 0 \), то \( x = 1 \) - точка минимума. д) Давай найдем точки экстремума функции \( y = x^3 - x^2 - x + 6 \). Сначала найдем первую производную: \[ y' = 3x^2 - 2x - 1 \] Затем приравняем первую производную к нулю и решим уравнение: \[ 3x^2 - 2x - 1 = 0 \] Найдем дискриминант: \[ D = (-2)^2 - 4(3)(-1) = 4 + 12 = 16 \] Корни этого уравнения: \[ x_1 = \frac{2 + \sqrt{16}}{2(3)} = \frac{2 + 4}{6} = \frac{6}{6} = 1 \] \[ x_2 = \frac{2 - \sqrt{16}}{2(3)} = \frac{2 - 4}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3} \] Теперь найдем вторую производную: \[ y'' = 6x - 2 \] Вычислим значения второй производной в найденных точках: \[ y''(-\frac{1}{3}) = 6(-\frac{1}{3}) - 2 = -2 - 2 = -4 \] \[ y''(1) = 6(1) - 2 = 6 - 2 = 4 \] Так как \( y''(-\frac{1}{3}) < 0 \), то \( x = -\frac{1}{3} \) - точка максимума. Так как \( y''(1) > 0 \), то \( x = 1 \) - точка минимума.

Ответ: а) x = -2 - точка максимума, x = 0 - точка минимума; б) x = 0 - точка максимума, x = 2 - точка минимума; в) x = 0 - точка максимума, x = 1 - точка минимума; г) x = 0 - точка максимума, x = 1 - точка минимума; д) x = -1/3 - точка максимума, x = 1 - точка минимума.

Отлично! Ты хорошо поработал(а) над этим заданием. Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится! Молодец!