Решить самостоятельно. Найти производные функций: a) y=(sin(3x))^x^4; 6) y = (cos2x)^x^5; B) y=(lnx)^sinx; r) y = (sinx)^lnx

Question

Вопрос:

Решить самостоятельно. Найти производные функций: a) y=(sin(3x))^x^4; 6) y = (cos2x)^x^5; B) y=(lnx)^sinx; r) y = (sinx)^lnx

Ответ:

Accepted Answer

Привет! Сейчас помогу тебе решить эти примеры на производные сложных функций. Будет немного сложно, но я уверена, у нас все получится!

а) y = (sin(3x))^x⁴

Для нахождения производной функции y = (sin(3x))^x⁴ используем метод логарифмического дифференцирования.

1. Логарифмируем обе части уравнения:

ln(y) = ln((sin(3x))^x⁴)

ln(y) = x⁴ * ln(sin(3x))

2. Дифференцируем обе части уравнения по x:

(1/y) * dy/dx = d/dx (x⁴ * ln(sin(3x)))

Используем правило произведения: (u*v)' = u'v + uv'

u = x⁴, u' = 4x³

v = ln(sin(3x)), v' = (1/sin(3x)) * cos(3x) * 3 = 3cos(3x)/sin(3x) = 3cot(3x)

(1/y) * dy/dx = 4x³ * ln(sin(3x)) + x⁴ * 3cot(3x)

3. Выражаем dy/dx:

dy/dx = y * [4x³ * ln(sin(3x)) + 3x⁴ * cot(3x)]

4. Подставляем y = (sin(3x))^x⁴:

dy/dx = (sin(3x))^x⁴ * [4x³ * ln(sin(3x)) + 3x⁴ * cot(3x)]

б) y = (cos(2x))^x⁵

1. Логарифмируем обе части уравнения:

ln(y) = ln((cos(2x))^x⁵)

ln(y) = x⁵ * ln(cos(2x))

2. Дифференцируем обе части уравнения по x:

(1/y) * dy/dx = d/dx (x⁵ * ln(cos(2x)))

Используем правило произведения: (u*v)' = u'v + uv'

u = x⁵, u' = 5x⁴

v = ln(cos(2x)), v' = (1/cos(2x)) * (-sin(2x)) * 2 = -2sin(2x)/cos(2x) = -2tan(2x)

(1/y) * dy/dx = 5x⁴ * ln(cos(2x)) + x⁵ * (-2tan(2x))

3. Выражаем dy/dx:

dy/dx = y * [5x⁴ * ln(cos(2x)) - 2x⁵ * tan(2x)]

4. Подставляем y = (cos(2x))^x⁵:

dy/dx = (cos(2x))^x⁵ * [5x⁴ * ln(cos(2x)) - 2x⁵ * tan(2x)]

в) y = (ln x)^{sin x}

1. Логарифмируем обе части уравнения:

ln(y) = ln((ln x)^{sin x})

ln(y) = sin x * ln(ln x)

2. Дифференцируем обе части уравнения по x:

(1/y) * dy/dx = d/dx (sin x * ln(ln x))

Используем правило произведения: (u*v)' = u'v + uv'

u = sin x, u' = cos x

v = ln(ln x), v' = (1/ln x) * (1/x) = 1/(x ln x)

(1/y) * dy/dx = cos x * ln(ln x) + sin x * (1/(x ln x))

3. Выражаем dy/dx:

dy/dx = y * [cos x * ln(ln x) + (sin x)/(x ln x)]

4. Подставляем y = (ln x)^{sin x}:

dy/dx = (ln x)^{sin x} * [cos x * ln(ln x) + (sin x)/(x ln x)]

г) y = (sin x)^{ln x}

1. Логарифмируем обе части уравнения:

ln(y) = ln((sin x)^{ln x})

ln(y) = ln x * ln(sin x)

2. Дифференцируем обе части уравнения по x:

(1/y) * dy/dx = d/dx (ln x * ln(sin x))

Используем правило произведения: (u*v)' = u'v + uv'

u = ln x, u' = 1/x

v = ln(sin x), v' = (1/sin x) * cos x = cot x

(1/y) * dy/dx = (1/x) * ln(sin x) + ln x * cot x

3. Выражаем dy/dx:

dy/dx = y * [(ln(sin x))/x + ln x * cot x]

4. Подставляем y = (sin x)^{ln x}:

dy/dx = (sin x)^{ln x} * [(ln(sin x))/x + ln x * cot x]

Ответ: a) dy/dx = (sin(3x))^x⁴ * [4x³ * ln(sin(3x)) + 3x⁴ * cot(3x)]; б) dy/dx = (cos(2x))^x⁵ * [5x⁴ * ln(cos(2x)) - 2x⁵ * tan(2x)]; в) dy/dx = (ln x)^{sin x} * [cos x * ln(ln x) + (sin x)/(x ln x)]; г) dy/dx = (sin x)^{ln x} * [(ln(sin x))/x + ln x * cot x]

Поздравляю! Ты отлично справился с этими сложными примерами. Продолжай в том же духе, и у тебя все получится! Удачи в дальнейшем изучении математики!