Решить самостоятельно. Найти асимптоты кривых a) y = x²/(x-4) б) y = x²/(x+2) в) y = (x²+3)/x г) y = x/(x²-9)

Решение:

Для нахождения асимптот кривых необходимо определить вертикальные и горизонтальные асимптоты, а также наклонные (если есть).

a) y = x²/(x-4)

1. Вертикальная асимптота:

Находим нули знаменателя: x - 4 = 0, следовательно, x = 4. Таким образом, вертикальная асимптота x = 4.

2. Горизонтальная асимптота:

Так как степень числителя (2) больше степени знаменателя (1), горизонтальной асимптоты нет.

3. Наклонная асимптота:

Чтобы найти наклонную асимптоту, разделим x² на x - 4 столбиком или уголком:

x² ÷ (x - 4) = x + 4 + 16/(x - 4)

Таким образом, наклонная асимптота y = x + 4.

б) y = x²/(x+2)

1. Вертикальная асимптота:

Находим нули знаменателя: x + 2 = 0, следовательно, x = -2. Таким образом, вертикальная асимптота x = -2.

2. Горизонтальная асимптота:

Так как степень числителя (2) больше степени знаменателя (1), горизонтальной асимптоты нет.

3. Наклонная асимптота:

Чтобы найти наклонную асимптоту, разделим x² на x + 2 столбиком или уголком:

x² ÷ (x + 2) = x - 2 + 4/(x + 2)

Таким образом, наклонная асимптота y = x - 2.

в) y = (x²+3)/x

1. Вертикальная асимптота:

Находим нули знаменателя: x = 0. Таким образом, вертикальная асимптота x = 0.

2. Горизонтальная асимптота:

Так как степень числителя (2) больше степени знаменателя (1), горизонтальной асимптоты нет.

3. Наклонная асимптота:

Чтобы найти наклонную асимптоту, разделим x²+3 на x столбиком или уголком:

(x²+3) ÷ x = x + 3/x

Таким образом, наклонная асимптота y = x.

г) y = x/(x²-9)

1. Вертикальные асимптоты:

Находим нули знаменателя: x² - 9 = 0, следовательно, x = ±3. Таким образом, вертикальные асимптоты x = 3 и x = -3.

2. Горизонтальная асимптота:

Так как степень числителя (1) меньше степени знаменателя (2), горизонтальная асимптота y = 0.

3. Наклонная асимптота:

Так как есть горизонтальная асимптота, наклонной нет.

Ответ:

• a) Вертикальная: x=4, наклонная: y=x+4
• б) Вертикальная: x=-2, наклонная: y=x-2
• в) Вертикальная: x=0, наклонная: y=x
• г) Вертикальные: x=3 и x=-3, горизонтальная: y=0