Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
Решить неравенство: Варианты ответов: 1) [5] 2)1+2) [1; 6] 10 3) (1) 4) (0) U log3 (9x) log4(x) (x-6) ≤ 0 5x2-x-1| В ответе указать ЦИФРУ соответствующую выбранному варианту ответа.
Ответ:
Давай решим это неравенство по шагам. Сначала рассмотрим выражение:
\[\frac{\log_3(9x) \cdot \log_4(x)}{5x^2 - |x - 1|} (x - 6) \le 0\]
Нужно учитывать, что
\[ \log_3(9x) = \log_3(9) + \log_3(x) = 2 + \log_3(x) \]
\[ \log_4(x) = \frac{\log_3(x)}{\log_3(4)} \]
Область определения логарифмов:
\[ x > 0 \]
Рассмотрим знаменатель:
\[ 5x^2 - |x - 1|
eq 0 \] Нужно рассмотреть два случая: 1) \( x \ge 1 \): \[ 5x^2 - (x - 1)
eq 0 \] \[ 5x^2 - x + 1
eq 0 \] Дискриминант отрицательный, поэтому нет решений. 2) \( x < 1 \): \[ 5x^2 + (x - 1)
eq 0 \] \[ 5x^2 + x - 1
eq 0 \] \[ x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 20}}{10} = \frac{-1 \pm \sqrt{21}}{10} \] То есть, \[ x
eq \frac{-1 + \sqrt{21}}{10}, \quad x
eq \frac{-1 - \sqrt{21}}{10} \] Так как \( x > 0 \), то \[ x
eq \frac{-1 + \sqrt{21}}{10} \] Теперь рассмотрим числитель: \[ \log_3(9x) \cdot \log_4(x) (x - 6) \le 0 \] \( x - 6 \le 0 \) при \( x \le 6 \) \[ (2 + \log_3(x)) \cdot \log_4(x) \le 0 \] \[ (2 + \log_3(x)) \cdot \frac{\log_3(x)}{\log_3(4)} \le 0 \] \( \log_3(4) > 0 \), следовательно \[ (2 + \log_3(x)) \cdot \log_3(x) \le 0 \] \[ \log_3(x) = t \] \[ (2 + t) t \le 0 \] \[ -2 \le t \le 0 \] \[ -2 \le \log_3(x) \le 0 \] \[ 3^{-2} \le x \le 3^0 \] \[ \frac{1}{9} \le x \le 1 \] Учитывая ограничения: \[ x \in \left[ \frac{1}{9}; \frac{-1 + \sqrt{21}}{10} \right) \cup \left( \frac{-1 + \sqrt{21}}{10}; 1 \right] \] Но так как x<=6, то наш промежуток входит в это условие. Теперь сравним с предложенными вариантами ответов: 1) \( \left[\frac{1}{64}; \frac{1}{9}\right] \cup \left(\frac{1}{5}; 5\right] \) 2) \( \left[\frac{1}{9}; \frac{-1+\sqrt{21}}{10}\right) \cup [1; 6] \) 3) \( \left(\frac{1}{64}; 1\right] \) 4) \( \left(-\frac{1}{7}; 0\right) \cup \left[\frac{1}{9}; \frac{1}{5}\right] \) Подходит второй вариант ответа.
eq 0 \] Нужно рассмотреть два случая: 1) \( x \ge 1 \): \[ 5x^2 - (x - 1)
eq 0 \] \[ 5x^2 - x + 1
eq 0 \] Дискриминант отрицательный, поэтому нет решений. 2) \( x < 1 \): \[ 5x^2 + (x - 1)
eq 0 \] \[ 5x^2 + x - 1
eq 0 \] \[ x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 20}}{10} = \frac{-1 \pm \sqrt{21}}{10} \] То есть, \[ x
eq \frac{-1 + \sqrt{21}}{10}, \quad x
eq \frac{-1 - \sqrt{21}}{10} \] Так как \( x > 0 \), то \[ x
eq \frac{-1 + \sqrt{21}}{10} \] Теперь рассмотрим числитель: \[ \log_3(9x) \cdot \log_4(x) (x - 6) \le 0 \] \( x - 6 \le 0 \) при \( x \le 6 \) \[ (2 + \log_3(x)) \cdot \log_4(x) \le 0 \] \[ (2 + \log_3(x)) \cdot \frac{\log_3(x)}{\log_3(4)} \le 0 \] \( \log_3(4) > 0 \), следовательно \[ (2 + \log_3(x)) \cdot \log_3(x) \le 0 \] \[ \log_3(x) = t \] \[ (2 + t) t \le 0 \] \[ -2 \le t \le 0 \] \[ -2 \le \log_3(x) \le 0 \] \[ 3^{-2} \le x \le 3^0 \] \[ \frac{1}{9} \le x \le 1 \] Учитывая ограничения: \[ x \in \left[ \frac{1}{9}; \frac{-1 + \sqrt{21}}{10} \right) \cup \left( \frac{-1 + \sqrt{21}}{10}; 1 \right] \] Но так как x<=6, то наш промежуток входит в это условие. Теперь сравним с предложенными вариантами ответов: 1) \( \left[\frac{1}{64}; \frac{1}{9}\right] \cup \left(\frac{1}{5}; 5\right] \) 2) \( \left[\frac{1}{9}; \frac{-1+\sqrt{21}}{10}\right) \cup [1; 6] \) 3) \( \left(\frac{1}{64}; 1\right] \) 4) \( \left(-\frac{1}{7}; 0\right) \cup \left[\frac{1}{9}; \frac{1}{5}\right] \) Подходит второй вариант ответа.
Ответ: 2
Молодец! Ты отлично справился с этой задачей! Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!
