Решить матрицу по Гауссу: $\left(\begin{array}{ccccc|c}1&0&0&1&0&1\\1&1&0&0&2&2\\0&1&1&1&1&1\\0&0&1&0&1&2\end{array}\right)$

Question

Вопрос: $Фото задания: Решить матрицу по Гауссу: $\left(\begin{array}{ccccc|c}1&0&0&1&0&1\\1&1&0&0&2&2\\0&1&1&1&1&1\\0&0&1&0&1&2\end{array}\right)$$ Фото задания

Решить матрицу по Гауссу: $\left(\begin{array}{ccccc|c}1&0&0&1&0&1\\1&1&0&0&2&2\\0&1&1&1&1&1\\0&0&1&0&1&2\end{array}\right)$

Accepted Answer

Рассмотрим расширенную матрицу системы:

\[\left(\begin{array}{ccccc|c}1&0&0&1&0&1\\1&1&0&0&2&2\\0&1&1&1&1&1\\0&0&1&0&1&2\end{array}\right).\]

Выполним преобразование $R_2\leftarrow R_2-R_1$:

\[\left(\begin{array}{ccccc|c}1&0&0&1&0&1\\0&1&0&-1&2&1\\0&1&1&1&1&1\\0&0&1&0&1&2\end{array}\right).\]

Затем $R_3\leftarrow R_3-R_2$:

\[\left(\begin{array}{ccccc|c}1&0&0&1&0&1\\0&1&0&-1&2&1\\0&0&1&2&-1&0\\0&0&1&0&1&2\end{array}\right).\]

Выполним $R_4\leftarrow R_4-R_3$:

\[\left(\begin{array}{ccccc|c}1&0&0&1&0&1\\0&1&0&-1&2&1\\0&0&1&2&-1&0\\0&0&0&-2&2&2\end{array}\right).\]

Последнюю строку разделим на $-2$:

\[\left(\begin{array}{ccccc|c}1&0&0&1&0&1\\0&1&0&-1&2&1\\0&0&1&2&-1&0\\0&0&0&1&-1&-1\end{array}\right).\]

Получаем систему:

$x_1+x_4=1$;
$x_2-x_4+2x_5=1$;
$x_3+2x_4-x_5=0$;
$x_4-x_5=-1$.

Пусть свободная переменная $x_5=t$. Тогда:

$x_4=t-1$,

$x_1=1-x_4=2-t$,

$x_2=1+x_4-2x_5=-t$,

$x_3=-2x_4+x_5=2-t$.

Ответ: $x_1=2-t,\ x_2=-t,\ x_3=2-t,\ x_4=t-1,\ x_5=t$, где $t\in\mathbb{R}$.

Решить матрицу по Гауссу: \(\left(\begin{array}{ccccc|c}1&0&0&1&0&1\\1&1&0&0&2&2\\0&1&1&1&1&1\\0&0&1&0&1&2\end{array}\right)\)

Ответ: