Решить квадратные уравнения. Объяснить почему уравнения имеют разное количество корней. Выписать коэффициенты а, в, с в каждом уравнении 1. x²-5x+6=0 2. 2x2+3x-2=0 3. x²-6x+9=0 4. 3x²-2x+1=0 5. x²+4x-5=0 6. 4x²-12x+9=0 7. x²+x+1=0 8. 5x-7x+2=0 9. x²-8x+16=0 10.2x²+x+3=0 задачи с использованием квадратного уравнения Объясните, какой корень подходит по смыслу задачи, почему в некоторых случаях решением являются оба корня, а в какой только один. В задаче 3 нарисовать график движения подброшенного тела (схематически) и показать на графике результаты решения задачи Задача 1. Геометрическая задача Периметр прямоугольника равен 30 см, а его площадь 56 см². Найдите длины сторон прямоугольника. Задача 2. Задача на движение Автомобиль проехал 120 км с постоянной скоростью, а затем ещё 80 км со скоростью на 20 км/ч меньше. Общее время в пути составило 3 часа. Найдите начальную скорость автомобиля. Задача 3. Физическая задача Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью 25 м/с. Через сколько секунд оно окажется на высоте 20 метров? (Ускорение свободного падения 8-10 м/с².)

Ответ: Решения ниже.

Решение квадратных уравнений:

Квадратные уравнения имеют разное количество корней в зависимости от значения дискриминанта. Если дискриминант больше нуля - два корня, равен нулю - один корень, меньше нуля - корней нет.

1. x²-5x+6=0

   • a=1, b=-5, c=6
   • D = (-5)² - 4*1*6 = 25 - 24 = 1
   • x₁ = (5 + √1) / 2 = 3
   • x₂ = (5 - √1) / 2 = 2

2. 2x²+3x-2=0

   • a=2, b=3, c=-2
   • D = 3² - 4*2*(-2) = 9 + 16 = 25
   • x₁ = (-3 + √25) / 4 = 0.5
   • x₂ = (-3 - √25) / 4 = -2

3. x²-6x+9=0

   • a=1, b=-6, c=9
   • D = (-6)² - 4*1*9 = 36 - 36 = 0
   • x = 6 / 2 = 3

4. 3x²-2x+1=0

   • a=3, b=-2, c=1
   • D = (-2)² - 4*3*1 = 4 - 12 = -8 (корней нет)

5. x²+4x-5=0

   • a=1, b=4, c=-5
   • D = 4² - 4*1*(-5) = 16 + 20 = 36
   • x₁ = (-4 + √36) / 2 = 1
   • x₂ = (-4 - √36) / 2 = -5

6. 4x²-12x+9=0

   • a=4, b=-12, c=9
   • D = (-12)² - 4*4*9 = 144 - 144 = 0
   • x = 12 / 8 = 1.5

7. x²+x+1=0

   • a=1, b=1, c=1
   • D = 1² - 4*1*1 = 1 - 4 = -3 (корней нет)

8. 5x²-7x+2=0

   • a=5, b=-7, c=2
   • D = (-7)² - 4*5*2 = 49 - 40 = 9
   • x₁ = (7 + √9) / 10 = 1
   • x₂ = (7 - √9) / 10 = 0.4

9. x²-8x+16=0

   • a=1, b=-8, c=16
   • D = (-8)² - 4*1*16 = 64 - 64 = 0
   • x = 8 / 2 = 4

10. 2x²+x+3=0

    • a=2, b=1, c=3
    • D = 1² - 4*2*3 = 1 - 24 = -23 (корней нет)

Задачи с использованием квадратного уравнения

Объяснение, какой корень подходит по смыслу задачи:

• В некоторых случаях решением являются оба корня, а в какой-то только один, потому что один из корней может не соответствовать физическим или геометрическим ограничениям (например, отрицательная длина или время).

Задача 1. Геометрическая задача

Периметр прямоугольника равен 30 см, а его площадь — 56 см². Найдите длины сторон прямоугольника.

• Пусть стороны прямоугольника a и b.
• P = 2(a+b) = 30, следовательно, a+b = 15
• S = a*b = 56
• Выразим a = 15 - b и подставим в уравнение площади: (15 - b) * b = 56
• 15b - b² = 56
• b² - 15b + 56 = 0
• D = (-15)² - 4*1*56 = 225 - 224 = 1
• b₁ = (15 + √1) / 2 = 8
• b₂ = (15 - √1) / 2 = 7
• Если b = 8, то a = 15 - 8 = 7
• Если b = 7, то a = 15 - 7 = 8

Ответ: Стороны прямоугольника равны 7 см и 8 см.

Задача 2. Задача на движение

Автомобиль проехал 120 км с постоянной скоростью, а затем ещё 80 км со скоростью на 20 км/ч меньше. Общее время в пути составило 3 часа. Найдите начальную скорость автомобиля.

• Пусть x - начальная скорость автомобиля.
• t₁ = 120 / x
• t₂ = 80 / (x - 20)
• t₁ + t₂ = 3
• 120/x + 80/(x-20) = 3
• 120(x-20) + 80x = 3x(x-20)
• 120x - 2400 + 80x = 3x² - 60x
• 3x² - 260x + 2400 = 0
• D = (-260)² - 4*3*2400 = 67600 - 28800 = 38800
• x₁ = (260 + √38800) / 6 ≈ 76.17 км/ч
• x₂ = (260 - √38800) / 6 ≈ 10.49 км/ч (не подходит, так как скорость на втором участке будет отрицательной)

Ответ: Начальная скорость автомобиля ≈ 76.17 км/ч.

Задача 3. Физическая задача

Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью 25 м/с. Через сколько секунд оно окажется на высоте 20 метров? (Ускорение свободного падения g=10 м/с².)

• h = v₀t - (gt²) / 2
• 20 = 25t - (10t²) / 2
• 20 = 25t - 5t²
• 5t² - 25t + 20 = 0
• t² - 5t + 4 = 0
• D = (-5)² - 4*1*4 = 25 - 16 = 9
• t₁ = (5 + √9) / 2 = 4 с
• t₂ = (5 - √9) / 2 = 1 с
• Два момента времени: при подъеме (1 с) и при падении (4 с).

Ответ: Тело окажется на высоте 20 метров через 1 секунду и через 4 секунды.

Ответ: Решения ниже.