Решить дифференциальное уравнение y' = (x+y)/(x-y)

Решение:

Данное дифференциальное уравнение является однородным. Заменим \( y = ux \), тогда \( y' = u + x u' \). Подставим это в уравнение:

\[ u + x u' = \frac{x + ux}{x - ux} \]

Разделим числитель и знаменатель на \( x \):

\[ u + x u' = \frac{1 + u}{1 - u} \]

Выделим \( x u' \):

\[ x u' = \frac{1 + u}{1 - u} - u \]

Приведем к общему знаменателю:

\[ x u' = \frac{1 + u - u(1 - u)}{1 - u} \]

Упростим:

\[ x u' = \frac{1 + u - u + u^2}{1 - u} \]

\( x u' = \frac{1 + u^2}{1 - u} \)

Теперь разделим переменные:

\[ \frac{1 - u}{1 + u^2} du = \frac{1}{x} dx \]

Проинтегрируем обе части:

\[ \int \frac{1 - u}{1 + u^2} du = \int \frac{1}{x} dx \]

Левая часть: \( \int \frac{1}{1 + u^2} du - \int \frac{u}{1 + u^2} du \)

Первый интеграл равен \( \operatorname{arctg} u \).

Для второго интеграла сделаем замену \( t = 1 + u^2 \), \( dt = 2u du \), \( u du = \frac{1}{2} dt \).

\[ \int \frac{u}{1 + u^2} du = \int \frac{1}{t} \frac{1}{2} dt = \frac{1}{2} \ln |t| = \frac{1}{2} \ln |1 + u^2| \]

Правая часть: \( \int \frac{1}{x} dx = \ln |x| + C_1 \).

Собираем всё вместе:

\[ \operatorname{arctg} u - \frac{1}{2} \ln |1 + u^2| = \ln |x| + C_1 \]

Подставим обратно \( u = \frac{y}{x} \):

\[ \operatorname{arctg} \frac{y}{x} - \frac{1}{2} \ln \left| 1 + \left( \frac{y}{x} \right)^2 \right| = \ln |x| + C_1 \]

Умножим на 2:

\[ 2 \operatorname{arctg} \frac{y}{x} - \ln \left| 1 + \frac{y^2}{x^2} \right| = 2 \ln |x| + 2C_1 \]

\[ 2 \operatorname{arctg} \frac{y}{x} - \ln \left| \frac{x^2 + y^2}{x^2} \right| = \ln (x^2) + C \quad \text{(где } C = 2C_1 \text{)} \]

\[ 2 \operatorname{arctg} \frac{y}{x} - \ln |x^2 + y^2| + \ln |x^2| = \ln (x^2) + C \]

Сокращаем \( \ln |x^2| \):

\[ 2 \operatorname{arctg} \frac{y}{x} - \ln |x^2 + y^2| = C \]

Перепишем в виде:

\[ \operatorname{arctg} \frac{y}{x} = \frac{1}{2} \ln |x^2 + y^2| + \frac{C}{2} \]

Пусть \( C_2 = \frac{C}{2} \).

\[ \operatorname{arctg} \frac{y}{x} = \frac{1}{2} \ln |x^2 + y^2| + C_2 \]

Сравним с предложенными вариантами. Вариант c:

\[ \operatorname{arctg} \frac{y}{x} = \ln|C\sqrt{x^2 + y^2}| \]

Это не совсем совпадает. Попробуем иначе преобразовать:

\[ \operatorname{arctg} u = \frac{1}{2} \ln(1+u^2) + \ln|x| + C_1 \]

\( \operatorname{arctg} u = \ln(\sqrt{1+u^2}) + \ln|x| + C_1 \)

\[ \operatorname{arctg} u = \ln(|x| \sqrt{1+u^2}) + C_1 \]

Подставляем \( u = y/x \):

\[ \operatorname{arctg} \frac{y}{x} = \ln \left( |x| \sqrt{1 + \frac{y^2}{x^2}} \right) + C_1 \]

\[ \operatorname{arctg} \frac{y}{x} = \ln \left( |x| \frac{\sqrt{x^2 + y^2}}{|x|} \right) + C_1 \]

\[ \operatorname{arctg} \frac{y}{x} = \ln \left( \sqrt{x^2 + y^2} \right) + C_1 \]

Это близко к варианту c, но нет \( C \) внутри логарифма. Попробуем вариант b:

\[ \operatorname{arctg} \frac{y}{x} = \ln \left| \frac{C\sqrt{x^2 + y^2}}{x^2} \right| \]

Это также не совпадает.

Проверим вариант c:

\[ \operatorname{arctg} \frac{y}{x} = \ln|C\sqrt{x^2 + y^2}| \]

Если \( C \) — произвольная постоянная, то \( \ln|C\sqrt{x^2 + y^2}| = \ln|C| + \ln|\sqrt{x^2 + y^2}| = \ln|C| + \frac{1}{2} \ln|x^2+y^2| \).

Тогда:

\[ \operatorname{arctg} \frac{y}{x} = \ln|C| + \frac{1}{2} \ln|x^2+y^2| \]

Это совпадает с нашим решением, если \( \frac{C}{2} = \ln|C_{new}| \) где \( C_{new} \) — новая произвольная константа.

Таким образом, вариант c является верным.

Ответ: c.