339 1) Реши задачу. В коробке с квадратным дном 32 кубика, и они полностью заполнили коробку. Узнай объём ко- робки, если известно, что длина ребра кубика равна 5 см. 2) Какие размеры могут быть у коробки? Приве- ди разные варианты.

Краткое пояснение: Сначала найдем объем одного кубика, затем объем всей коробки. После этого определим возможные размеры коробки, учитывая, что дно квадратное и состоит из целого числа кубиков.

1) Решение задачи:

• Найдем объем одного кубика: \[V_{кубика} = a^3 = 5^3 = 125 \, \text{см}^3\]
• Найдем объем коробки, умножив объем одного кубика на их количество (32): \[V_{коробки} = 32 \times 125 = 4000 \, \text{см}^3\]

2) Размеры коробки:

Так как дно коробки квадратное, нужно найти такие размеры, чтобы объем коробки был 4000 см³ и количество кубиков по длине и ширине было целым числом.

• Пусть сторона основания равна \( x \), тогда высота равна \( h \), и объем коробки: \( V = x^2 \cdot h \). Поскольку каждый кубик имеет ребро 5 см, размеры коробки должны быть кратны 5.
• Разложим число 32 на множители, чтобы понять, как кубики могут быть расположены в коробке. Возможные варианты:
  • 32 = 4 * 8 = 2 * 2 * 8. Значит, можно расположить кубики так: 4 кубика в длину, 4 кубика в ширину и 2 кубика в высоту.
• Тогда размеры коробки будут:
  • Длина: \( 4 \times 5 = 20 \, \text{см} \)
  • Ширина: \( 4 \times 5 = 20 \, \text{см} \)
  • Высота: \( 2 \times 5 = 10 \, \text{см} \)

Проверим объем: \( V = 20 \times 20 \times 10 = 4000 \, \text{см}^3 \).