Реши задачу. Прогулочный катер катал туристов 3 часа. За это время он проплыл 24 км по течению реки и 8 км против течения. Какова собственная скорость катера, если скорость течения реки составляет 2 км/ч? Запиши в каждое поле ответа верное число или выражение без пробелов. Для обозначения обыкновенной дроби используй /. Пусть собственная скорость катера равна х км/ч. Тогда он будет идти по течению со скоростью км/ч, а против течения — со скоростью

Дано:

• Время движения: 3 часа
• Расстояние по течению: 24 км
• Расстояние против течения: 8 км
• Скорость течения реки: 2 км/ч

Найти: Собственную скорость катера (x).

Решение:

1. Скорость катера по течению:
   Собственная скорость катера + Скорость течения реки = x + 2 км/ч.
2. Скорость катера против течения:
   Собственная скорость катера - Скорость течения реки = x - 2 км/ч.
3. Расстояние, пройденное по течению:
   Скорость по течению * Время = (x + 2) * t.
4. Расстояние, пройденное против течения:
   Скорость против течения * Время = (x - 2) * t.
5. Составим уравнения:
   По условию задачи, общее время движения равно 3 часа. Пусть время движения по течению будет $$t_1$$, а против течения $$t_2$$. Тогда $$t_1 + t_2 = 3$$.
   Мы знаем, что расстояние = скорость * время. Отсюда время = расстояние / скорость.
   Следовательно, $$t_1 = \frac{24}{x+2}$$ и $$t_2 = \frac{8}{x-2}$$.
6. Подставим в уравнение времени:
   \[ \frac{24}{x+2} + \frac{8}{x-2} = 3 \]
7. Решим уравнение:
   Приведем к общему знаменателю:
   \[ \frac{24(x-2) + 8(x+2)}{(x+2)(x-2)} = 3 \]
   \[ \frac{24x - 48 + 8x + 16}{x^2 - 4} = 3 \]
   \[ \frac{32x - 32}{x^2 - 4} = 3 \]
   Умножим обе части на $$x^2 - 4$$ (при условии $$x
   eq \pm 2$$):
   \[ 32x - 32 = 3(x^2 - 4) \]
   \[ 32x - 32 = 3x^2 - 12 \]
   Перенесем все в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
   \[ 3x^2 - 32x + 20 = 0 \]
8. Решим квадратное уравнение через дискриминант:
   $$D = b^2 - 4ac = (-32)^2 - 4 * 3 * 20 = 1024 - 240 = 784$$.
   $$\sqrt{D} = \sqrt{784} = 28$$.
9. Найдем корни уравнения:
   $$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{32 + 28}{2 * 3} = \frac{60}{6} = 10$$.
   $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{32 - 28}{2 * 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$$.
10. Проверим корни:
    Скорость катера должна быть больше скорости течения (2 км/ч), чтобы он мог двигаться против течения. Поэтому $$x = \frac{2}{3}$$ не подходит.
    При $$x = 10$$:
    Скорость по течению = $$10 + 2 = 12$$ км/ч.
    Скорость против течения = $$10 - 2 = 8$$ км/ч.
    Время по течению = $$\frac{24}{12} = 2$$ часа.
    Время против течения = $$\frac{8}{8} = 1$$ час.
    Общее время = $$2 + 1 = 3$$ часа. Это соответствует условию задачи.

Ответ:

Скорость по течению: 12 км/ч

Скорость против течения: 8 км/ч