Реши уравнение: 25x2 + 10x + 1 = (x – 25)2. Решение (заполни пропуски в решении).

Ответ: x = -3 или x = 3.2

Начнем с преобразования уравнения:

\[25x^2 + 10x + 1 = (x - 25)^2\]

\[25x^2 + 10x + 1 = x^2 - 50x + 625\]

Перенесем все в левую сторону:

\[25x^2 - x^2 + 10x + 50x + 1 - 625 = 0\]

\[24x^2 + 60x - 624 = 0\]

Сократим на 12:

\[2x^2 + 5x - 52 = 0\]

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

\[D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-52) = 25 + 416 = 441\]

\[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + \sqrt{441}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 + 21}{4} = \frac{16}{4} = 4\]

\[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - \sqrt{441}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 - 21}{4} = \frac{-26}{4} = -6.5\]

Подставим найденные значения в исходное уравнение для проверки:

• Для x = 4:

\[25 \cdot 4^2 + 10 \cdot 4 + 1 = (4 - 25)^2\]

\[25 \cdot 16 + 40 + 1 = (-21)^2\]

\[400 + 40 + 1 = 441\]

\[441 = 441\]

• Для x = -6.5:

\[25 \cdot (-6.5)^2 + 10 \cdot (-6.5) + 1 = (-6.5 - 25)^2\]

\[25 \cdot 42.25 - 65 + 1 = (-31.5)^2\]

\[1056.25 - 65 + 1 = 992.25\]

\[992.25 = 992.25\]

Заполним пропуски, чтобы получить эквивалентные выражения:

\[(5x + 1)^2 = (x - 25)^2\]

Тогда:

\[5x + 1 = x - 25 \quad \text{или} \quad 5x + 1 = -x + 25\]

Решим каждое уравнение отдельно:

• \[5x + 1 = x - 25\]

  \[5x - x = -25 - 1\]

  \[4x = -26\]

  \[x = -\frac{26}{4} = -6.5\]

• \[5x + 1 = -x + 25\]

  \[5x + x = 25 - 1\]

  \[6x = 24\]

  \[x = \frac{24}{6} = 4\]

Расположим корни в порядке возрастания.

Ответ: x = -6.5 или x = 4

Ответ: x = -6.5 или x = 4