Реши уравнение $\log_{0,3}^{2}u=\frac{3}{\log_u0,3}-2$. Корни квадратного уравнения, к которому сводится данное логарифмическое, равны [первым запиши меньший корень] и [второй корень]. Им соответствуют корни логарифмического уравнения: $u_1=$ и $u_2=$.

Question

Вопрос: $Фото задания: Реши уравнение $\log_{0,3}^{2}u=\frac{3}{\log_u0,3}-2$. Корни квадратного уравнения, к которому сводится данное…$ Фото задания

Accepted Answer

ОДЗ: $u>0$, $u\ne1$.

Обозначим $x=\log_{0,3}u$. По свойству взаимных логарифмов:

\[\frac{1}{\log_u0,3}=\log_{0,3}u=x.\]

Тогда исходное уравнение принимает вид:

\[x^2=3x-2,\]

\[x^2-3x+2=0.\]

Разложим на множители:

\[(x-1)(x-2)=0.\]

Отсюда $x_1=1$, $x_2=2$.

Найдём соответствующие значения $u$:

\[\log_{0,3}u_1=1\quad\Rightarrow\quad u_1=0,3;\]

\[\log_{0,3}u_2=2\quad\Rightarrow\quad u_2=(0,3)^2=0,09.\]

Ответ: корни квадратного уравнения — 1 и 2; $u_1=0,3$, $u_2=0,09$.