Реши уравнение \(\log_{0,1}^2 x=\frac{4}{\log_x 0,1}-3\). Корни квадратного уравнения, к которому сводится данное логарифмическое, равны □ и □ (первым запиши меньший корень). Им соответствуют корни логарифмического уравнения: \(x_1=\) □; \(x_2=\) □.

Обозначим \(t=\log_{0.1}x\). По свойству взаимно обратных логарифмов \(\log_x0.1=\frac{1}{t}\).

Тогда получаем:

\[t^2=\frac{4}{1/t}-3=4t-3.\]

Перенесём всё в левую часть:

\[t^2-4t+3=0.\]

Разложим на множители:

\[(t-1)(t-3)=0.\]

Следовательно, корни квадратного уравнения: \(t_1=1\) и \(t_2=3\).

Возвращаемся к переменной \(x\):

\[\log_{0.1}x=1\quad\Rightarrow\quad x_1=0.1;\]

\[\log_{0.1}x=3\quad\Rightarrow\quad x_2=(0.1)^3=0.001.\]

Оба значения удовлетворяют области допустимых значений: \(x>0\), \(x\ne1\).

Ответ: корни квадратного уравнения — 1 и 3; \(x_1=0.1\), \(x_2=0.001\).