Реши уравнение: \(\frac{2}{8x^2-1} + \frac{5}{2x-1} = \frac{25x+13}{4x^2+2x+1}\). Запиши в поле ответа значение меньшего корня. Вырази дробное значение десятичной дробью.

Решение:

Для начала, приведем знаменатели к общему виду. Заметим, что $$8x^2 - 1$$ можно разложить как $$(2x-1)(4x^2+2x+1)$$.

Теперь запишем уравнение с общим знаменателем:

• \[ \frac{2}{(2x-1)(4x^2+2x+1)} + \frac{5(4x^2+2x+1)}{(2x-1)(4x^2+2x+1)} = \frac{(25x+13)(2x-1)}{(2x-1)(4x^2+2x+1)} \]

Так как знаменатели равны, можем приравнять числители:

• \[ 2 + 5(4x^2+2x+1) = (25x+13)(2x-1) \]

Раскроем скобки:

• \[ 2 + 20x^2 + 10x + 5 = 50x^2 - 25x + 26x - 13 \]
• \[ 20x^2 + 10x + 7 = 50x^2 + x - 13 \]

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

• \[ 50x^2 - 20x^2 + x - 10x - 13 - 7 = 0 \]
• \[ 30x^2 - 9x - 20 = 0 \]

Теперь найдем корни этого квадратного уравнения, используя дискриминант $$D = b^2 - 4ac$$:

• $$a=30$$, $$b=-9$$, $$c=-20$$
• \[ D = (-9)^2 - 4(30)(-20) = 81 + 2400 = 2481 \]

Найдем корни по формуле $$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$:

• \[ x_1 = \frac{9 + \sqrt{2481}}{2(30)} = \frac{9 + \sqrt{2481}}{60} \]
• \[ x_2 = \frac{9 - \sqrt{2481}}{2(30)} = \frac{9 - \sqrt{2481}}{60} \]

Для ответа нам нужно меньшее значение корня. Так как $$\sqrt{2481} > 9$$, то $$9 - \sqrt{2481}$$ будет отрицательным числом. Следовательно, $$x_2$$ является меньшим корнем.

Приблизительное значение $$\sqrt{2481} \approx 49.81$$

Вычислим значение меньшего корня:

• \[ x_2 = \frac{9 - 49.81}{60} = \frac{-40.81}{60} \]
• \[ x_2 \approx -0.680166... \]

Округлим до тысячных:

• \[ x_2 \approx -0.680 \]

Проверка знаменателей:

Нужно убедиться, что найденные корни не обращают знаменатели в нуль. Знаменатели обращаются в ноль при $$2x-1=0$$ (то есть $$x=0.5$$) и $$8x^2-1=0$$ (то есть $$x = ±¯\frac{1}{2\sqrt{2}}$$).

Наш меньший корень $$x_2 ≈ -0.680$$ не равен $$0.5$$ и $$±¯\frac{1}{2\sqrt{2}}$$.

Ответ: -0.680