Реши уравнение: 2 \( \sqrt[8]{g} \) - 4 \( \sqrt[4]{g} \) = 0.

Решение:

Данное уравнение является биквадратным относительно \( \sqrt[4]{g} \).

1. Обозначим \( x = \sqrt[4]{g} \). Тогда \( \sqrt[8]{g} = x^2 \).
2. Подставим в уравнение: \( 2x^2 - 4x = 0 \).
3. Вынесем общий множитель \( 2x \) за скобки: \( 2x(x - 2) = 0 \).
4. Приравняем каждый множитель к нулю:
• \( 2x = 0 \) => \( x = 0 \)
• \( x - 2 = 0 \) => \( x = 2 \)
5. Теперь вернёмся к исходной переменной \( g \), вспоминая, что \( x = \sqrt[4]{g} \).
• Если \( x = 0 \), то \( \sqrt[4]{g} = 0 \). Возведём обе части в 4-ю степень: \( g = 0^4 \) => \( g_1 = 0 \).
• Если \( x = 2 \), то \( \sqrt[4]{g} = 2 \). Возведём обе части в 4-ю степень: \( g = 2^4 \) => \( g_2 = 16 \).
6. Проверим корни:
• При \( g = 0 \): \( 2\sqrt[8]{0} - 4\sqrt[4]{0} = 2 · 0 - 4 · 0 = 0 \). Корень подходит.
• При \( g = 16 \): \( 2\sqrt[8]{16} - 4\sqrt[4]{16} = 2 · (2^4)^{1/8} - 4 · (2^4)^{1/4} = 2 · 2^{4/8} - 4 · 2^{4/4} = 2 · 2^{1/2} - 4 · 2^1 = 2·√{2} - 8 \). Этот корень не подходит.
7. *Перепроверка:
   \( 2 · 2^{1/2} - 4 · 2 = 2 · √{2} - 8 \).
   На самом деле, \( · \) между цифрами обозначает умножение, а не деление.
   \( 2\sqrt[8]{16} - 4\sqrt[4]{16} = 2 · (2^4)^{1/8} - 4 · (2^4)^{1/4} = 2 · 2^{4/8} - 4 · 2^{4/4} = 2 · 2^{1/2} - 4 · 2 = 2 · √{2} - 8 \).
   Ошибка в интерпретации условия, \( 2^8 \) и \( 4^4 \).
   \( 2\sqrt[8]{g} - 4\sqrt[4]{g} = 0 \).
   \( 2(g^{1/8})^2 - 4g^{1/4} = 0 \).
   \( 2g^{1/4} - 4g^{1/4} = 0 \).
   \( -2g^{1/4} = 0 \).
   \( g^{1/4} = 0 \).
   \( g = 0 \).
   *Возможно, в условии знак степени стоит не так, как предполагает OCR.
   Если же уравнение: \( 2 · (\sqrt{g})^8 - 4 · (\sqrt{g})^4 = 0 \), то это \( 2g^4 - 4g^2 = 0 \) -> \( 2g^2(g^2-2)=0 \) -> \( g=0 \) или \( g=±√{2} \).
   Или если \( 2 · g^{8} - 4 · g^{4} = 0 \) -> \( 2g^4(g^4-2)=0 \) -> \( g=0 \) или \( g = ±√[4]{2} \).
   Если же \( 2·√[8]{g} - 4·√[4]{g} = 0 \) -> \( 2· g^{1/8} - 4· g^{1/4} = 0 \).
   Пусть \( y = g^{1/8} \). Тогда \( 2y - 4y^2 = 0 \) -> \( 2y(1 - 2y) = 0 \).
   \( y = 0 \) или \( y = 1/2 \).
   Если \( y = 0 \), то \( g^{1/8} = 0 \) -> \( g_1 = 0 \).
   Если \( y = 1/2 \), то \( g^{1/8} = 1/2 \). \( g = (1/2)^8 = 1/256 \).
   Корень \( g=1/256 \) проверяем: \( 2(1/256)^{1/8} - 4(1/256)^{1/4} = 2(1/2) - 4(1/4) = 1 - 1 = 0 \).
   Таким образом, корни \( g_1 = 0 \) и \( g_2 = 1/256 \).
   Условие задачи просит первым вписать меньший корень.

Ответ: g₁ = 0, g₂ = 1/256.