- Реши уравнение 4+2 cos 4x = 3. - Выбери корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [ -11π/12;0].

Решение:

Решим уравнение:

\[4 + 2\cos 4x = 3\]\[2\cos 4x = -1\]\[\cos 4x = -\frac{1}{2}\]\[4x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in Z\]\[x = \pm \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2}, n \in Z\]

Получили два семейства решений:

\[x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2}, n \in Z\]\[x = -\frac{\pi}{6} + \frac{\pi m}{2}, m \in Z\]

Найдем корни, принадлежащие отрезку \(\[-\frac{11\pi}{12}; 0\]\)

Для первого семейства:

\[-\frac{11\pi}{12} \le \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2} \le 0\]\[-\frac{11}{12} \le \frac{1}{6} + \frac{n}{2} \le 0\]\[-\frac{11}{12} - \frac{2}{12} \le \frac{n}{2} \le -\frac{1}{6}\]\[-\frac{13}{12} \le \frac{n}{2} \le -\frac{1}{6}\]\[-\frac{13}{6} \le n \le -\frac{1}{3}\]

Подходят значения \(n = -2, n = -1\).

Корни:

\[x_1 = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi (-2)}{2} = \frac{\pi}{6} - \pi = -\frac{5\pi}{6}\]\[x_2 = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi (-1)}{2} = \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{3}\]

Для второго семейства:

\[-\frac{11\pi}{12} \le -\frac{\pi}{6} + \frac{\pi m}{2} \le 0\]\[-\frac{11}{12} \le -\frac{1}{6} + \frac{m}{2} \le 0\]\[-\frac{11}{12} + \frac{2}{12} \le \frac{m}{2} \le \frac{1}{6}\]\[-\frac{9}{12} \le \frac{m}{2} \le \frac{1}{6}\]\[-\frac{3}{2} \le m \le \frac{1}{3}\]

Подходят значения \(m = -1, m = 0\).

Корни:

\[x_3 = -\frac{\pi}{6} + \frac{\pi (-1)}{2} = -\frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{2} = -\frac{2\pi}{3}\]\[x_4 = -\frac{\pi}{6} + \frac{\pi (0)}{2} = -\frac{\pi}{6}\]

Корни в порядке возрастания:

\[-\frac{5\pi}{6}; -\frac{2\pi}{3}; -\frac{\pi}{3}; -\frac{\pi}{6}\]

Запишем корни в порядке возрастания.

Ответ: -\frac{5\pi}{6}; -\frac{2\pi}{3}; -\frac{\pi}{3}; -\frac{\pi}{6}