20. Реши уравнение \frac{1}{(x - 3)^2} + \frac{1}{(x - 3)} - 6 = 0. Если корней несколько, то в ответе укажи их сумму. Запиши дробь, используя для записи дробной части символ «/», а для отделения целой части — пробел (пример записи: 1 2/3).

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Сделаем замену переменной: пусть \( t = \frac{1}{x - 3} \). Тогда уравнение примет вид: \[ t^2 + t - 6 = 0 \]
2. Шаг 2: Решим квадратное уравнение относительно t. Используем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25 \] Так как D > 0, уравнение имеет два корня: \[ t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2 \] \[ t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 5}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \]
3. Шаг 3: Вернемся к исходной переменной x. У нас есть два значения t, поэтому получим два уравнения: * \( \frac{1}{x - 3} = 2 \) * \( \frac{1}{x - 3} = -3 \)
4. Шаг 4: Решим первое уравнение: \[ \frac{1}{x - 3} = 2 \] \[ 1 = 2(x - 3) \] \[ 1 = 2x - 6 \] \[ 2x = 7 \] \[ x_1 = \frac{7}{2} = 3.5 \]
5. Шаг 5: Решим второе уравнение: \[ \frac{1}{x - 3} = -3 \] \[ 1 = -3(x - 3) \] \[ 1 = -3x + 9 \] \[ 3x = 8 \] \[ x_2 = \frac{8}{3} \approx 2.67 \]
6. Шаг 6: Найдем сумму корней: \[ x_1 + x_2 = \frac{7}{2} + \frac{8}{3} = \frac{21}{6} + \frac{16}{6} = \frac{37}{6} \]

Ответ: 6 1/6