Реши систему уравнений: (x-5)² - (x - 9)² = 8y, (y + 5)² - (y - 3)² = 4x. Запиши ответ числами.

Привет! Давай разберемся с этой системой уравнений. На вид она немного страшная, но на самом деле все решается довольно просто, если знать пару алгебраических трюков.

Шаг 1: Упрощаем первое уравнение

В первом уравнении у нас есть скобки в квадрате. Вспомним формулу квадрата разности: (a - b)² = a² - 2ab + b².

Раскроем скобки:

• (x - 5)² = x² - 2*x*5 + 5² = x² - 10x + 25
• (x - 9)² = x² - 2*x*9 + 9² = x² - 18x + 81

Теперь подставим это обратно в первое уравнение:

(x² - 10x + 25) - (x² - 18x + 81) = 8y

Раскрываем вторую скобку, меняя знаки:

x² - 10x + 25 - x² + 18x - 81 = 8y

Упрощаем, `x²` и `-x²` сокращаются:

(-10x + 18x) + (25 - 81) = 8y

8x - 56 = 8y

Разделим обе части на 8, чтобы сделать попроще:

x - 7 = y

Отлично! Мы получили простое выражение для y.

Шаг 2: Упрощаем второе уравнение

Теперь сделаем то же самое со вторым уравнением, используя ту же формулу квадрата разности:

• (y + 5)² = y² + 2*y*5 + 5² = y² + 10y + 25
• (y - 3)² = y² - 2*y*3 + 3² = y² - 6y + 9

Подставляем во второе уравнение:

(y² + 10y + 25) - (y² - 6y + 9) = 4x

Раскрываем скобки:

y² + 10y + 25 - y² + 6y - 9 = 4x

Упрощаем, `y²` и `-y²` сокращаются:

(10y + 6y) + (25 - 9) = 4x

16y + 16 = 4x

Разделим обе части на 4:

4y + 4 = x

Теперь у нас есть простое выражение для x.

Шаг 3: Решаем систему подстановкой

У нас есть два простых уравнения:

• y = x - 7
• x = 4y + 4

Подставим выражение для x из второго уравнения в первое:

y = (4y + 4) - 7

y = 4y - 3

Перенесем y в одну сторону, а числа в другую:

4 = 4y - y

4 = 3y

y = 4/3

Шаг 4: Находим x

Теперь, когда мы знаем значение y, можем найти x, подставив y = 4/3 в любое из простых уравнений. Возьмем x = 4y + 4:

x = 4 * (4/3) + 4

x = 16/3 + 4

Чтобы сложить, приведем 4 к знаменателю 3:

x = 16/3 + 12/3

x = 28/3

Шаг 5: Записываем ответ

Мы нашли значения x и y. Система уравнений решена.

Ответ: (28/3; 4/3)