Реши систему уравнений методом подстановки. { 2x / 3 - 5v / 4 = -3 5x / 6 + 7v / 8 = 6

Решение:

Данная система уравнений:

• \( \frac{2x}{3} - \frac{5v}{4} = -3 \)
• \( \frac{5x}{6} + \frac{7v}{8} = 6 \)

Шаг 1: Приведём уравнения к более удобному виду, избавившись от дробей.

Для первого уравнения умножим обе части на наименьший общий знаменатель (НОЗ) чисел 3 и 4, который равен 12:

\( 12 \cdot \left( \frac{2x}{3} - \frac{5v}{4} \right) = 12 \cdot (-3) \)

\( 8x - 15v = -36 \) (Уравнение 1)

Для второго уравнения умножим обе части на НОЗ чисел 6 и 8, который равен 24:

\( 24 \cdot \left( \frac{5x}{6} + \frac{7v}{8} \right) = 24 \cdot 6 \)

\( 20x + 21v = 144 \) (Уравнение 2)

Шаг 2: Выразим одну переменную через другую из одного из уравнений.

Выразим \( x \) из Уравнения 1:

\( 8x = -36 + 15v \)

\( x = \frac{-36 + 15v}{8} \)

Шаг 3: Подставим полученное выражение в другое уравнение.

Подставим \( x \) в Уравнение 2:

\( 20 \cdot \left( \frac{-36 + 15v}{8} \right) + 21v = 144 \)

Упростим дробь \( \frac{20}{8} \), разделив числитель и знаменатель на 4: \( \frac{5}{2} \).

\( \frac{5}{2} \cdot (-36 + 15v) + 21v = 144 \)

Умножим обе части на 2, чтобы избавиться от дроби:

\( 5 \cdot (-36 + 15v) + 2 \cdot 21v = 2 \cdot 144 \)

\( -180 + 75v + 42v = 288 \)

\( 117v = 288 + 180 \)

\( 117v = 468 \)

\( v = \frac{468}{117} \)

\( v = 4 \)

Шаг 4: Найдем значение второй переменной, подставив найденное значение первой переменной.

Подставим \( v = 4 \) в выражение для \( x \):

\( x = \frac{-36 + 15 \cdot 4}{8} \)

\( x = \frac{-36 + 60}{8} \)

\( x = \frac{24}{8} \)

\( x = 3 \)

Шаг 5: Проверка.

Подставим \( x = 3 \) и \( v = 4 \) в исходные уравнения:

1) \( \frac{2 \cdot 3}{3} - \frac{5 \cdot 4}{4} = \frac{6}{3} - \frac{20}{4} = 2 - 5 = -3 \) (Верно)

2) \( \frac{5 \cdot 3}{6} + \frac{7 \cdot 4}{8} = \frac{15}{6} + \frac{28}{8} = \frac{5}{2} + \frac{7}{2} = \frac{12}{2} = 6 \) (Верно)

Ответ: x = 3; v = 4.