Реши систему уравнений: \(\begin{cases}\frac{x-4y}{3} + \frac{3x+2y}{2} = 9; \\ -3x + 4y = -32.\end{cases}\)

Привет! Давай разберемся с этой системой уравнений вместе. Это несложно, если идти шаг за шагом!

1. Первое уравнение:

   Сначала избавимся от дробей в первом уравнении. Для этого домножим обе его части на наименьшее общее кратное знаменателей, то есть на 6:

   \[ 6 \left( \frac{x-4y}{3} + \frac{3x+2y}{2} \right) = 6 \times 9 \]

   Получаем:

   \[ 2(x-4y) + 3(3x+2y) = 54 \]

   Раскроем скобки:

   \[ 2x - 8y + 9x + 6y = 54 \]

   Приведем подобные слагаемые:

   \[ 11x - 2y = 54 \]

2. Система уравнений:

   Теперь наша система выглядит так:

   \[ \begin{cases} 11x - 2y = 54 \\ -3x + 4y = -32 \end{cases} \]

3. Метод сложения:

   Чтобы избавиться от y, умножим первое уравнение на 2:

   \[ 2(11x - 2y) = 2 \times 54 \]

   \[ 22x - 4y = 108 \]

   Теперь сложим это уравнение со вторым уравнением системы:

   \[ (22x - 4y) + (-3x + 4y) = 108 + (-32) \]

   \[ 22x - 3x - 4y + 4y = 108 - 32 \]

   \[ 19x = 76 \]

   Найдем x:

   \[ x = \frac{76}{19} \]

   \[ x = 4 \]

4. Находим y:

   Подставим значение x = 4 во второе уравнение исходной системы:

   \[ -3x + 4y = -32 \]

   \[ -3(4) + 4y = -32 \]

   \[ -12 + 4y = -32 \]

   \[ 4y = -32 + 12 \]

   \[ 4y = -20 \]

   \[ y = \frac{-20}{4} \]

   \[ y = -5 \]

5. Проверка:

   Подставим найденные значения x=4 и y=-5 в первое уравнение:

   \[ \frac{4-4(-5)}{3} + \frac{3(4)+2(-5)}{2} = \frac{4+20}{3} + \frac{12-10}{2} = \frac{24}{3} + \frac{2}{2} = 8 + 1 = 9 \]

   Верно!

   Проверим во втором уравнении:

   \[ -3(4) + 4(-5) = -12 - 20 = -32 \]

   Тоже верно!

Ответ: (4; -5)