Реши неравенство: 77x+308 7 +2x+29 < x²+5x+4 x+1 Выбери правильный ответ: (-∞; -11] [-4,5;-4) U(-4;-1). (-∞;-11) (-4;-1) (-∞;-11]U[-4,5;-1) (-∞; -11] [-4,5;-1) (-1;+∞)

Ответ: (-∞; -11]∪[-4.5; -4)∪(-4; -1)

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Преобразуем неравенство

  Перенесем все члены в левую часть и приведем к общему знаменателю:

  \[\frac{77x + 308}{x^2 + 5x + 4} + 2x + 29 - \frac{7}{x + 1} \le 0\]

  Разложим знаменатель первой дроби:

  \[x^2 + 5x + 4 = (x + 1)(x + 4)\]

  Тогда неравенство примет вид:

  \[\frac{77x + 308}{(x + 1)(x + 4)} + 2x + 29 - \frac{7}{x + 1} \le 0\]
• Шаг 2: Приведем к общему знаменателю

  Общий знаменатель: (x + 1)(x + 4)

  \[\frac{77x + 308 + (2x + 29)(x + 1)(x + 4) - 7(x + 4)}{(x + 1)(x + 4)} \le 0\] \[\frac{77x + 308 + (2x + 29)(x^2 + 5x + 4) - 7x - 28}{(x + 1)(x + 4)} \le 0\] \[\frac{77x + 308 + 2x^3 + 10x^2 + 8x + 29x^2 + 145x + 116 - 7x - 28}{(x + 1)(x + 4)} \le 0\] \[\frac{2x^3 + 39x^2 + 223x + 396}{(x + 1)(x + 4)} \le 0\]
• Шаг 3: Разложим числитель на множители

  Найдем корень числителя. Заметим, что x = -11 является корнем:

  \[2(-11)^3 + 39(-11)^2 + 223(-11) + 396 = -2662 + 4719 - 2453 + 396 = 0\]

  Разделим числитель на (x + 11):

  \[2x^3 + 39x^2 + 223x + 396 = (x + 11)(2x^2 + 17x + 36)\]

  Дискриминант квадратного трехчлена 2x² + 17x + 36:

  \[D = 17^2 - 4 \cdot 2 \cdot 36 = 289 - 288 = 1\] \[x_1 = \frac{-17 + 1}{4} = -4, \quad x_2 = \frac{-17 - 1}{4} = -4.5\]

  Тогда:

  \[2x^2 + 17x + 36 = 2(x + 4)(x + 4.5)\]

  Неравенство примет вид:

  \[\frac{(x + 11)(2(x + 4)(x + 4.5))}{(x + 1)(x + 4)} \le 0\] \[\frac{2(x + 11)(x + 4)(x + 4.5)}{(x + 1)(x + 4)} \le 0\]
• Шаг 4: Упростим и решим неравенство

  Сократим (x + 4), учитывая, что x ≠ -4:

  \[\frac{2(x + 11)(x + 4.5)}{(x + 1)} \le 0\]

  Найдем нули числителя и знаменателя:

  x = -11, x = -4.5, x = -1

  Расставим знаки на числовой прямой:

          +       -        +       -      
     ----(-11)----(-4.5)----(-1)---->
    

• Шаг 5: Запишем ответ

  Учитывая, что x ≠ -4, получим:

  x ∈ (-∞; -11]∪[-4.5; -4)∪(-4; -1)

Ответ: (-∞; -11]∪[-4.5; -4)∪(-4; -1)