Реши неравенство: log14 (6x - 7) > log14 (2x - 5). Выбери верный вариант.

Решение:

Для решения неравенства \( \log_{14} (6x - 7) > \log_{14} (2x - 5) \) необходимо учесть два условия:

1. Определим область допустимых значений (ОДЗ): Аргументы логарифмов должны быть положительными.
• \( 6x - 7 > 0 \) \(\Rightarrow\) \( 6x > 7 \) \(\Rightarrow\) \( x > \frac{7}{6} \)
• \( 2x - 5 > 0 \) \(\Rightarrow\) \( 2x > 5 \) \(\Rightarrow\) \( x > \frac{5}{2} \)
• Объединяя оба условия, получаем: \( x > \frac{5}{2} \) (так как \( \frac{5}{2} = \frac{15}{6} \) и \( \frac{7}{6} < \frac{15}{6} \)).
2. Решим само неравенство: Так как основание логарифма \( 14 > 1 \), логарифмическая функция является возрастающей. Следовательно, мы можем перейти к сравнению аргументов:
• \( 6x - 7 > 2x - 5 \)
• \( 6x - 2x > 7 - 5 \)
• \( 4x > 2 \)
• \( x > \frac{2}{4} \)
• \( x > \frac{1}{2} \)
3. Найдем пересечение решений: Теперь необходимо учесть и ОДЗ, и решение самого неравенства.
• Из ОДЗ: \( x > \frac{5}{2} \)
• Из решения неравенства: \( x > \frac{1}{2} \)
• Общее решение: \( x > \frac{5}{2} \) (так как \( \frac{5}{2} = 2.5 \) и \( \frac{1}{2} = 0.5 \), условие \( x > \frac{5}{2} \) является более строгим).

Сравнивая полученное решение \( x > \frac{5}{2} \) с предложенными вариантами:

• \( x > \frac{1}{2} \)
• \( x > 2\frac{1}{2} \) (это \( x > \frac{5}{2} \))
• \( x > 1\frac{1}{6} \)
• \( x < 1\frac{1}{6} \)

Верным вариантом является \( x > 2\frac{1}{2} \).

Ответ: x > 2\(\frac{1}{2}\).