Реши неравенство \(\frac{x}{x-15} \ge 4\) методом интервалов. Сколько целых чисел содержится в получившемся промежутке?

Решение:

Давай решим неравенство методом интервалов и найдем, сколько целых чисел содержится в получившемся промежутке.

1. Перенесем все в левую часть:

   \[\frac{x}{x-15} - 4 \ge 0\]

2. Приведем к общему знаменателю:

   \[\frac{x - 4(x-15)}{x-15} \ge 0\] \[\frac{x - 4x + 60}{x-15} \ge 0\] \[\frac{-3x + 60}{x-15} \ge 0\]

3. Умножим на -1, чтобы изменить знак числителя (и знак неравенства):

   \[\frac{3x - 60}{x-15} \le 0\]

4. Разделим числитель и знаменатель на 3:

   \[\frac{x - 20}{x-15} \le 0\]

5. Найдем нули числителя и знаменателя:

   Числитель: x - 20 = 0 ⇒ x = 20

   Знаменатель: x - 15 = 0 ⇒ x = 15

6. Метод интервалов:

       +        -        +
    -----|--------|--------->
         15       20
     

   Интервалы: (-∞, 15), (15, 20], (20, ∞)

7. Определим знак на каждом интервале:

   (-∞, 15): x = 10 ⇒ (10-20)/(10-15) = (-10)/(-5) = 2 > 0 (не подходит)

   (15, 20]: x = 16 ⇒ (16-20)/(16-15) = (-4)/(1) = -4 < 0 (подходит)

   (20, ∞): x = 21 ⇒ (21-20)/(21-15) = (1)/(6) > 0 (не подходит)

8. Решение: 15 < x ≤ 20

9. Целые числа в промежутке: 16, 17, 18, 19, 20

Количество целых чисел: 5

Ответ: 5

Ты молодец! У тебя всё получится!