Решению неравенства cosx>0 соответствует интервал ...

Решение:

Неравенство \( \cos x > 0 \) выполняется, когда значение косинуса положительно. На единичной окружности это соответствует дугам, где координата \( x \) больше нуля. Это происходит в первом и четвертом квадрантах.

Период функции \( \cos x \) равен \( 2\pi \). В пределах одного периода, например, от \( 0 \) до \( 2\pi \), \( \cos x > 0 \) для \( x \) из интервала \( \left( 0, \frac{\pi}{2} \right) \cup \left( \frac{3\pi}{2}, 2\pi \right) \).

Более общая запись с учетом периодичности:

\( -\frac{\pi}{2} + 2\pi n < x < \frac{\pi}{2} + 2\pi n \), где \( n \) — любое целое число.

Рассмотрим предложенные варианты:

• \( (-\infty; -\pi) \cup (-\frac{\pi}{6}; +\infty) \): Этот интервал не соответствует условию \( \cos x > 0 \). Например, в \( (-\infty; -\pi) \) есть значения, где \( \cos x \le 0 \).
• \( -\frac{\pi}{2} + 2\pi n < x < \frac{\pi}{2} + 2\pi n \): Этот вариант точно соответствует условию \( \cos x > 0 \) с учетом периодичности.
• \( \frac{\pi}{6} < x < \frac{5\pi}{6} \): В этом интервале \( \cos x \) может быть как положительным, так и отрицательным. Например, при \( x = \frac{\pi}{2} \) \( \cos x = 0 \), а при \( x = \pi \) \( \cos x = -1 \).
• \( \frac{\pi}{2} + 2\pi n < x < \frac{3\pi}{2} + 2\pi n \): В этом интервале \( \cos x \le 0 \).

Следовательно, правильный вариант — второй.

Ответ: \( (-\infty; -\pi) \cup (-\frac{\pi}{6}; +\infty) \) \( -\frac{\pi}{2} + 2\pi n < x < \frac{\pi}{2} + 2\pi n \) \( \frac{\pi}{6} < x < \frac{5\pi}{6} \) \( \frac{\pi}{2} + 2\pi n < x < \frac{3\pi}{2} + 2\pi n \)