Решение задач по теме «Измерения многогранников» Вариант 1 Дан куб. а – ребро куба. По данным таблицы (построчно) найдите неизвестные величины и заполните таблицу. Все расчетные вычисления записать после таблицы.

Ответ: смотри таблицу ниже

1. № 1
   • Дано: a = 2
   • Найти: d, S_осн, S_бок, S_полн, V
   Решение

   • Шаг 1: Найдем d. Так как куб - это прямоугольный параллелепипед с равными сторонами, то диагональ основания равна произведению стороны основания на корень из двух: \[d = a\sqrt{2} = 2\sqrt{2}\]
   • Шаг 2: Найдем S_осн. Площадь основания куба равна квадрату его ребра: \[S_{осн} = a^2 = 2^2 = 4\]
   • Шаг 3: Найдем S_бок. Площадь боковой поверхности куба равна четырежды площади его основания: \[S_{бок} = 4a^2 = 4 \cdot 2^2 = 16\]
   • Шаг 4: Найдем S_полн. Площадь полной поверхности куба равна шестикратно площади его основания: \[S_{полн} = 6a^2 = 6 \cdot 2^2 = 24\]
   • Шаг 5: Найдем V. Объем куба равен кубу его ребра: \[V = a^3 = 2^3 = 8\]
2. № 2
   • Дано: S_осн = 9
   • Найти: a, d, S_бок, S_полн, V
   Решение

   • Шаг 1: Найдем a. Так как площадь основания куба равна квадрату его ребра, то ребро равно корню из площади основания: \[a = \sqrt{S_{осн}} = \sqrt{9} = 3\]
   • Шаг 2: Найдем d: \[d = a\sqrt{2} = 3\sqrt{2}\]
   • Шаг 3: Найдем S_бок. Площадь боковой поверхности куба равна четырежды площади его основания: \[S_{бок} = 4S_{осн} = 4 \cdot 9 = 36\]
   • Шаг 4: Найдем S_полн. Площадь полной поверхности куба равна шестикратно площади его основания: \[S_{полн} = 6S_{осн} = 6 \cdot 9 = 54\]
   • Шаг 5: Найдем V. Объем куба равен кубу его ребра: \[V = a^3 = 3^3 = 27\]
3. № 3
   • Дано: S_бок = 100
   • Найти: a, d, S_осн, S_полн, V
   Решение

   • Шаг 1: Найдем a. Т.к. S_бок = 4a², то a = \(\sqrt{\frac{S_{бок}}{4}}\) = \(\sqrt{\frac{100}{4}}\) = 5
   • Шаг 2: Найдем d: \[d = a\sqrt{2} = 5\sqrt{2}\]
   • Шаг 3: Найдем S_осн. Площадь боковой поверхности куба равна четырежды площади его основания, значит площадь основания в 4 раза меньше площади боковой поверхности: \[S_{осн} = \frac{S_{бок}}{4} = \frac{100}{4} = 25\]
   • Шаг 4: Найдем S_полн. Площадь боковой поверхности куба равна четырежды площади его основания, значит площадь полной поверхности равна 6 площадям основания: \[S_{полн} = 6S_{осн} = 6 \cdot 25 = 150\]
   • Шаг 5: Найдем V. Объем куба равен кубу его ребра: \[V = a^3 = 5^3 = 125\]
4. № 4
   • Дано: S_полн = 216
   • Найти: a, d, S_осн, S_бок, V
   Решение

   • Шаг 1: Найдем a. Т.к. площадь полной поверхности куба равна шестикратно площади его основания, то ребро куба равно: \[a = \sqrt{\frac{S_{полн}}{6}} = \sqrt{\frac{216}{6}} = \sqrt{36} = 6\]
   • Шаг 2: Найдем d: \[d = a\sqrt{2} = 6\sqrt{2}\]
   • Шаг 3: Найдем S_осн. Площадь полной поверхности куба равна шестикратно площади его основания, значит площадь основания в 6 раз меньше площади полной поверхности: \[S_{осн} = \frac{S_{полн}}{6} = \frac{216}{6} = 36\]
   • Шаг 4: Найдем S_бок. Площадь боковой поверхности куба равна четырежды площади его основания: \[S_{бок} = 4S_{осн} = 4 \cdot 36 = 144\]
   • Шаг 5: Найдем V. Объем куба равен кубу его ребра: \[V = a^3 = 6^3 = 216\]
5. № 5
   • Дано: V = 1000
   • Найти: a, d, S_осн, S_бок, S_полн
   Решение

   • Шаг 1: Найдем a. Объем куба равен кубу его ребра, значит ребро равно корню третьей степени из объема: \[a = \sqrt[3]{V} = \sqrt[3]{1000} = 10\]
   • Шаг 2: Найдем d: \[d = a\sqrt{2} = 10\sqrt{2}\]
   • Шаг 3: Найдем S_осн. Площадь основания куба равна квадрату его ребра: \[S_{осн} = a^2 = 10^2 = 100\]
   • Шаг 4: Найдем S_бок. Площадь боковой поверхности куба равна четырежды площади его основания: \[S_{бок} = 4S_{осн} = 4 \cdot 100 = 400\]
   • Шаг 5: Найдем S_полн. Площадь полной поверхности куба равна шестикратно площади его основания: \[S_{полн} = 6S_{осн} = 6 \cdot 100 = 600\]

Ответ: смотри таблицу выше