1.

Решение:

Выполним вычисление по действиям:

1. Первое действие в скобках: \( 0,8 \cdot \frac{5}{8} \)

Переведем десятичную дробь в обыкновенную: \( 0,8 = \frac{8}{10} = \frac{4}{5} \).

Теперь умножим: \( \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{8} = \frac{4 \cdot 5}{5 \cdot 8} = \frac{20}{40} = \frac{1}{2} \).

2. Второе действие в скобках: \( 5 - \frac{1}{2} \)

Представим 5 как дробь со знаменателем 2: \( 5 = \frac{10}{2} \).

Вычислим: \( \frac{10}{2} - \frac{1}{2} = \frac{9}{2} \).

3. Третье действие в скобках: \( \frac{9}{2} : 2\frac{1}{2} \)

Переведем смешанное число \( 2\frac{1}{2} \) в неправильную дробь: \( 2\frac{1}{2} = \frac{2 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{5}{2} \).

Теперь разделим: \( \frac{9}{2} : \frac{5}{2} = \frac{9}{2} \cdot \frac{2}{5} = \frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 5} = \frac{18}{10} = \frac{9}{5} \).

4. Четвертое действие: \( 0,4 + 8 \cdot \frac{9}{5} \)

Умножим: \( 8 \cdot \frac{9}{5} = \frac{8 \cdot 9}{5} = \frac{72}{5} \).

Приведем 0,4 к обыкновенной дроби: \( 0,4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} \).

Сложим: \( \frac{2}{5} + \frac{72}{5} = \frac{74}{5} \).

5. Пятое действие: \( \frac{74}{5} \cdot 90 \)

Умножим: \( \frac{74}{5} \cdot 90 = \frac{74 \cdot 90}{5} = 74 \cdot 18 = 1332 \).

6. Шестое действие в знаменателе: \( 1\frac{7}{8} \cdot 8 \)

Переведем смешанное число \( 1\frac{7}{8} \) в неправильную дробь: \( 1\frac{7}{8} = \frac{1 \cdot 8 + 7}{8} = \frac{15}{8} \).

Умножим: \( \frac{15}{8} \cdot 8 = 15 \).

7. Седьмое действие в знаменателе: \( 8,9 - 2,6 \)

Вычислим: \( 8,9 - 2,6 = 6,3 \).

8. Восьмое действие в знаменателе: \( 6,3 : \frac{2}{3} \)

Переведем десятичную дробь \( 6,3 \) в обыкновенную: \( 6,3 = \frac{63}{10} \).

Разделим: \( \frac{63}{10} : \frac{2}{3} = \frac{63}{10} \cdot \frac{3}{2} = \frac{63 \cdot 3}{10 \cdot 2} = \frac{189}{20} \).

9. Девятое действие в знаменателе: \( 15 - \frac{189}{20} \)

Приведем 15 к знаменателю 20: \( 15 = \frac{15 \cdot 20}{20} = \frac{300}{20} \).

Вычислим: \( \frac{300}{20} - \frac{189}{20} = \frac{111}{20} \).

10. Десятое действие: \( \frac{111}{20} \cdot 34\frac{2}{5} \)

Переведем смешанное число \( 34\frac{2}{5} \) в неправильную дробь: \( 34\frac{2}{5} = \frac{34 \cdot 5 + 2}{5} = \frac{170 + 2}{5} = \frac{172}{5} \).

Умножим: \( \frac{111}{20} \cdot \frac{172}{5} = \frac{111 \cdot 172}{20 \cdot 5} = \frac{19092}{100} \).

11. Последнее действие: \( \frac{1332}{\frac{19092}{100}} \)

Разделим числитель на знаменатель: \( 1332 : \frac{19092}{100} = 1332 \cdot \frac{100}{19092} = \frac{133200}{19092} \).

Сократим дробь. Разделим числитель и знаменатель на 12: \( \frac{133200 \div 12}{19092 \div 12} = \frac{11100}{1591} \).

Можно заметить, что \( 1591 = 13 \cdot 122.38... \) или \( 1591 = 19 × 83,7... \). Проверим, делится ли \( 11100 \) на 19. \( 11100 \div 19 \approx 584 \). \( 11100 \div 13 \approx 853.8 \).

Дальнейшее сокращение может быть затруднительно без калькулятора. Однако, при более внимательном рассмотрении, \( 111 = 3 \cdot 37 \) и \( 1332 = 12 \cdot 111 = 12 \cdot 3 \cdot 37 \). \( 19092 \) делится на 12: \( 19092 \div 12 = 1591 \).

Таким образом, \( \frac{133200}{19092} = \frac{11100}{1591} \).

Если пересчитать, можно обнаружить ошибку в исходных данных или в записи. Пересчитаем более внимательно.

Пересчет:

1. \( 0.8 · \frac{5}{8} = \frac{4}{5} · \frac{5}{8} = \frac{1}{2} \)
2. \( 5 - \frac{1}{2} = \frac{10}{2} - \frac{1}{2} = \frac{9}{2} \)
3. \( \frac{9}{2} : 2\frac{1}{2} = \frac{9}{2} : \frac{5}{2} = \frac{9}{2} · \frac{2}{5} = \frac{9}{5} \)
4. \( 0.4 + 8 · \frac{9}{5} = \frac{2}{5} + \frac{72}{5} = \frac{74}{5} \)
5. \( \frac{74}{5} · 90 = 74 · 18 = 1332 \)
6. \( 1\frac{7}{8} · 8 = \frac{15}{8} · 8 = 15 \)
7. \( 8.9 - 2.6 = 6.3 \)
8. \( 6.3 : \frac{2}{3} = \frac{63}{10} · \frac{3}{2} = \frac{189}{20} \)
9. \( 15 - \frac{189}{20} = \frac{300}{20} - \frac{189}{20} = \frac{111}{20} \)
10. \( \frac{111}{20} · 34\frac{2}{5} = \frac{111}{20} · \frac{172}{5} = \frac{111 · 172}{100} = \frac{19092}{100} \)
11. \( \frac{1332}{\frac{19092}{100}} = 1332 · \frac{100}{19092} = \frac{133200}{19092} \)

Сократим дробь \( \frac{133200}{19092} \). Оба числа делятся на 12: \( 133200 \div 12 = 11100 \), \( 19092 \div 12 = 1591 \). Получаем \( \frac{11100}{1591} \).

В числителе \( 11100 = 111 · 100 = 3 · 37 · 100 \). \( 1591 \) не делится на 3 или 37. Возможно, есть ошибка в условии или задании.

Проверим ещё раз деление \( 6.3 : \frac{2}{3} \): \( \frac{63}{10} \cdot \frac{3}{2} = \frac{189}{20} \). Верно.

Проверим \( 15 - \frac{189}{20} \): \( \frac{300-189}{20} = \frac{111}{20} \). Верно.

Проверим \( \frac{111}{20} \cdot 34\frac{2}{5} \): \( \frac{111}{20} \cdot \frac{172}{5} = \frac{19092}{100} \). Верно.

Итоговое деление: \( \frac{1332}{\frac{19092}{100}} = 1332 · \frac{100}{19092} = \frac{133200}{19092} \).

Попробуем разложить \( 19092 \) на множители. \( 19092 = 4 · 4773 = 4 · 3 · 1591 \). \( 1591 \) — простое число.

\( 133200 = 1332 · 100 = 12 · 111 · 100 = 12 · 3 · 37 · 100 \).

\( \frac{12 · 3 · 37 · 100}{4 · 3 · 1591} = \frac{3 · 37 · 100}{1591} = \frac{11100}{1591} \).

Ответ не сокращается до простого числа. Скорее всего, в условии ошибка.

Однако, если предположить, что \( 8.9 - 2.6 \) было \( 8.5 - 2.6 \) или \( 8.9 - 2.5 \), или \( 6.3: \frac{2}{3} \) было \( 6.3: 2.3 \)?

Если допустить, что \( 1591 = 13 · 122.38... \) это неверно. \( 1591 \) не делится на 13. \( 1591 \div 19 = 83.7 \). \( 1591 \div 37 = 43 \).

Итак, \( 1591 = 37 · 43 \).

\( \frac{11100}{1591} = \frac{3 · 37 · 100}{37 · 43} = \frac{3 · 100}{43} = \frac{300}{43} \).

\( 300 \div 43 \approx 6.97 \).

Ответ: \( \frac{300}{43} \).