Решение уравнение

Решение уравнения:

\(\frac{x}{x+8} + \frac{x+8}{x-8} = \frac{x^2+x+72}{x^2-64}\)

1. Приведем к общему знаменателю \( (x+8)(x-8) = x^2-64 \).


2. Умножим обе части уравнения на \( x^2-64 \), предполагая, что \( x \neq 8 \) и \( x \neq -8 \).


3. \( x(x-8) + (x+8)(x+8) = x^2+x+72 \)


4. Раскроем скобки: \( x^2 - 8x + x^2 + 16x + 64 = x^2+x+72 \)


5. Приведем подобные слагаемые: \( 2x^2 + 8x + 64 = x^2+x+72 \)


6. Перенесем все члены в левую часть: \( 2x^2 - x^2 + 8x - x + 64 - 72 = 0 \)


7. Упростим: \( x^2 + 7x - 8 = 0 \)


8. Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 49 + 32 = 81 \)


9. Найдём корни: \( x_1 = \frac{-7 + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 + 9}{2} = \frac{2}{2} = 1 \)


10. \( x_2 = \frac{-7 - \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 - 9}{2} = \frac{-16}{2} = -8 \)


11. Проверим найденные корни. Корень \( x_2 = -8 \) не подходит, так как знаменатель \( x+8 \) обращается в ноль.

Ответ: x = 1.