Решение систем методом сложения

Решение систем методом сложения

1 вариант

1. \( \begin{cases} x+y=5 \\ x-y=7 \end{cases} \)

Сложим уравнения:

\( (x+y) + (x-y) = 5+7 \)

\( 2x = 12 \)

\( x = 6 \)

Подставим \( x=6 \) в первое уравнение:

\( 6+y=5 \)

\( y = 5-6 \)

\( y = -1 \)

2. \( \begin{cases} 3x+y=4 \\ 3x-5y=20 \end{cases} \)

Вычтем второе уравнение из первого:

\( (3x+y) - (3x-5y) = 4-20 \)

\( 3x+y-3x+5y = -16 \)

\( 6y = -16 \)

\( y = -\frac{16}{6} = -\frac{8}{3} \)

Подставим \( y = -\frac{8}{3} \) в первое уравнение:

\( 3x + (-\frac{8}{3}) = 4 \)

\( 3x = 4 + \frac{8}{3} \)

\( 3x = \frac{12+8}{3} = \frac{20}{3} \)

\( x = \frac{20}{9} \)

3. \( \begin{cases} 2x+3y=-1 \\ 3x+5y=-2 \end{cases} \)

Умножим первое уравнение на 3, второе на 2:

\( \begin{cases} 6x+9y=-3 \\ 6x+10y=-4 \end{cases} \)

Вычтем первое уравнение из второго:

\( (6x+10y) - (6x+9y) = -4 - (-3) \)

\( 6x+10y-6x-9y = -4+3 \)

\( y = -1 \)

Подставим \( y=-1 \) в первое уравнение:

\( 2x + 3(-1) = -1 \)

\( 2x - 3 = -1 \)

\( 2x = -1+3 \)

\( 2x = 2 \)

\( x = 1 \)

2 вариант

1. \( \begin{cases} x-y=3 \\ x+y=5 \end{cases} \)

Сложим уравнения:

\( (x-y) + (x+y) = 3+5 \)

\( 2x = 8 \)

\( x = 4 \)

Подставим \( x=4 \) в первое уравнение:

\( 4-y=3 \)

\( -y = 3-4 \)

\( -y = -1 \)

\( y = 1 \)

2. \( \begin{cases} x-y=-10 \\ 2x+3y=15 \end{cases} \)

Выразим \( x \) из первого уравнения:

\( x = y-10 \)

Подставим во второе уравнение:

\( 2(y-10)+3y=15 \)

\( 2y-20+3y=15 \)

\( 5y = 15+20 \)

\( 5y = 35 \)

\( y = 7 \)

Подставим \( y=7 \) в \( x = y-10 \):

\( x = 7-10 \)

\( x = -3 \)

3. \( \begin{cases} 3x+2y=1 \\ 2x+5y=8 \end{cases} \)

Умножим первое уравнение на 5, второе на 2:

\( \begin{cases} 15x+10y=5 \\ 4x+10y=16 \end{cases} \)

Вычтем второе уравнение из первого:

\( (15x+10y) - (4x+10y) = 5-16 \)

\( 15x+10y-4x-10y = -11 \)

\( 11x = -11 \)

\( x = -1 \)

Подставим \( x=-1 \) в первое уравнение:

\( 3(-1) + 2y = 1 \)

\( -3 + 2y = 1 \)

\( 2y = 1+3 \)

\( 2y = 4 \)

\( y = 2 \)