Решение простейших тригонометрических уравнений

Решение простейших тригонометрических уравнений

Простейшие тригонометрические уравнения — это уравнения вида:

• \( sin \, x = a \)
• \( cos \, x = a \)
• \( tg \, x = a \)
• \( ctg \, x = a \)

где \( a \) — число, а \( x \) — переменная (или выражение, содержащее \( x \)). Решение каждого типа имеет свою формулу. Ниже приведены все правила, формулы, особые случаи и примеры.

1. Уравнение вида \( sin \, x = a \)

Условие существования решений:

\[ -1 \le a \le 1 \]

Если \( |a| > 1 \), решений нет.

Общее решение:

\[ x = (-1)^k arcsin \, a + \pi k, \quad k \in Z \]

Частные случаи:

• \( sin \, x = 0 \rightarrow x = \pi k \)
• \( sin \, x = 1 \rightarrow x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \)
• \( sin \, x = -1 \rightarrow x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k \)