Óêàæèòå ïðÿìóþ, êîòîðàÿ èìååò ñ ãðàôèêîì ðàâíî äâå îáùèå òî÷êè.

Решение:

Необходимо найти значение \( m \), при котором прямая \( y = m \) имеет две общие точки с графиком заданной кусочно-заданной функции. График состоит из части параболы \( y = x^2 - 10x + 25 \) при \( x \ge 4 \) и части прямой \( y = x - 2 \) при \( x < 4 \).

1. Взаимодействие с параболой:
   Уравнение \( x^2 - 10x + 25 = m \) должно иметь одно решение при \( x \ge 4 \). \( x^2 - 10x + (25-m) = 0 \). Дискриминант \( D = (-10)^2 - 4(1)(25-m) = 100 - 100 + 4m = 4m \). Корни: \( x = \frac{10 \pm \sqrt{4m}}{2} = 5 \pm \sqrt{m} \). Нам нужен один корень \( \ge 4 \). Вершина параболы - \( (5; 0) \). Если \( m = 0 \), то \( x=5 \) (один корень \(\ge 4 \)). Если \( m > 0 \), то \( x_1 = 5 + \sqrt{m} \) (всегда \( > 4 \)) и \( x_2 = 5 - \sqrt{m} \). Нам нужно, чтобы \( 5 - \sqrt{m} \) был \(< 4 \) или \( \ge 4 \). Если \( 5 - \sqrt{m} < 4 \), то \( 1 < \sqrt{m} \), \( m > 1 \). Если \( m > 1 \), то \( x_1 > 4 \) и \( x_2 < 4 \). Таким образом, если \( m > 1 \), будет один корень \( x_1 \ge 4 \).
2. Взаимодействие с прямой:
   Уравнение \( x - 2 = m \) должно иметь одно решение при \( x < 4 \). \( x = m + 2 \). Условие \( x < 4 \) означает \( m + 2 < 4 \), то есть \( m < 2 \).
3. Две общие точки:
   Чтобы было ровно две общие точки, прямая \( y=m \) должна пересекать как параболу (при \( x ≥ 4 \)), так и прямую (при \( x < 4 \)).
   Пересечение с параболой ( \( x ≥ 4 \)): \( m \) должно быть \( \ge 0 \) (значение \( y \) в вершине). При \( x=4 \), \( y=1 \). Таким образом, для параболы \( y \ge 0 \). Для двух точек с параболой, \( m \) должно быть \( > 0 \) (иначе одна точка в вершине или одна точка на краю).
4. Совмещение условий:
   Для параболы: \( m \) должно быть \( \ge 0 \) для наличия точек. Для двух точек с параболой, \( m > 0 \).
   Для прямой: \( m < 2 \).
   Следовательно, \( m \) должно удовлетворять условию \( 0 < m < 2 \).

Ответ: Прямая \( y = m \) при \( 0 < m < 2 \).