1.

Решение:

Дана функция \( f(x) = \sqrt[4]{x^2 - 3} \).

Найдем производную функции \( f'(x) \) по правилу дифференцирования сложной функции.

1. Обозначим \( u = x^2 - 3 \). Тогда \( f(u) = \sqrt[4]{u} = u^{\frac{1}{4}} \).
2. Найдем производную \( f(u) \) по \( u \): \( f'(u) = \frac{1}{4} u^{\frac{1}{4} - 1} = \frac{1}{4} u^{-\frac{3}{4}} \).
3. Найдем производную \( u \) по \( x \): \( u'(x) = 2x \).
4. По правилу дифференцирования сложной функции: \( f'(x) = f'(u) \cdot u'(x) \).
5. Подставим \( u \) и \( u'(x) \): \( f'(x) = \frac{1}{4} (x^2 - 3)^{-\frac{3}{4}} \cdot 2x \).
6. Упростим выражение: \( f'(x) = \frac{2x}{4 \sqrt[4]{(x^2 - 3)^3}} = \frac{x}{2 \sqrt[4]{(x^2 - 3)^3}} \).

В вашем написании присутствует непонятный элемент \( 2^{\sin x} \) и \( (2^{\sin x})' \), который не соответствует исходной функции \( f(x) \). Если задача заключалась в дифференцировании \( f(x) = \sqrt[4]{x^2 - 3} + 2^{\sin x} \), то:

\( f'(x) = \left( \sqrt[4]{x^2 - 3} \right)' + \left( 2^{\sin x} \right)' \)

Мы уже нашли первую часть: \( \left( \sqrt[4]{x^2 - 3} \right)' = \frac{x}{2 \sqrt[4]{(x^2 - 3)^3}} \).

Для второй части \( \left( 2^{\sin x} \right)' \) используем правило дифференцирования показательной функции \( a^{u(x)} \), где \( a=2 \) и \( u(x) = \sin x \). Производная равна \( a^{u(x)} \ln(a) \cdot u'(x) \).

\( u'(x) = (\sin x)' = \cos x \).

Значит, \( \left( 2^{\sin x} \right)' = 2^{\sin x} \ln(2) \cdot \cos x \).

Таким образом, полная производная:

\( f'(x) = \frac{x}{2 \sqrt[4]{(x^2 - 3)^3}} + 2^{\sin x} \ln(2) \cos x \).

Ответ: \( f'(x) = \frac{x}{2 \sqrt[4]{(x^2 - 3)^3}} + 2^{\sin x} \ln(2) \cos x \).