Рение неравенство

Решение неравенства:

\( (x+7)(x-4) - (3-x)(3+x) \geq -32 \)

1. Раскроем скобки: \( (x^2 - 4x + 7x - 28) - (9 - x^2) \geq -32 \)


2. Упростим выражения в скобках: \( (x^2 + 3x - 28) - (9 - x^2) \geq -32 \)


3. Раскроем вторую скобку, меняя знаки: \( x^2 + 3x - 28 - 9 + x^2 \geq -32 \)


4. Приведем подобные слагаемые: \( 2x^2 + 3x - 37 \geq -32 \)


5. Перенесем -32 в левую часть: \( 2x^2 + 3x - 37 + 32 \geq 0 \)


6. Упростим: \( 2x^2 + 3x - 5 \geq 0 \)


7. Найдем корни квадратного трехчлена \( 2x^2 + 3x - 5 = 0 \).


8. Дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49 \)


9. Корни: \( x_1 = \frac{-3 + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 + 7}{4} = \frac{4}{4} = 1 \)


10. \( x_2 = \frac{-3 - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 - 7}{4} = \frac{-10}{4} = -2.5 \)


11. Парабола \( y = 2x^2 + 3x - 5 \) ветвями вверх, поэтому неравенство \( 2x^2 + 3x - 5 \geq 0 \) выполняется при \( x \leq -2.5 \) или \( x \geq 1 \).

Ответ: \( x \in (-\infty; -2.5] \cup [1; +\infty) \).