Ребро куба $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ равно $$a$$. Постройте общий перпендикуляр прямых $$AA_1$$ и $$BD$$ и найдите его длину.

Ответ: $$\frac{a\sqrt{2}}{2}$$

Рассмотрим куб $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ с ребром $$a$$. Прямая $$AA_1$$ перпендикулярна плоскости $$ABCD$$. Прямая $$BD$$ лежит в плоскости $$ABCD$$. Общий перпендикуляр к прямым $$AA_1$$ и $$BD$$ должен быть перпендикулярен обеим прямым.

Шаг 1: Найдем перпендикуляр от точки на $$BD$$ к $$AA_1$$.

Пусть $$O$$ - точка пересечения диагоналей квадрата $$ABCD$$. Тогда $$AO$$ перпендикулярна $$BD$$. Также $$AO$$ перпендикулярна $$AA_1$$ (так как $$AA_1$$ перпендикулярна плоскости $$ABCD$$). Значит, $$AO$$ является общим перпендикуляром к прямым $$AA_1$$ и $$BD$$.

Шаг 2: Найдем длину $$AO$$.

В квадрате $$ABCD$$ диагональ $$AC = a\sqrt{2}$$. Тогда $$AO = \frac{AC}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$$.

Таким образом, длина общего перпендикуляра равна $$\frac{a\sqrt{2}}{2}$$.

Ответ: $$\frac{a\sqrt{2}}{2}$$