Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно 6√3. Найдите расстояние от точки С до плоскости BDC1.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Зададим координаты вершин куба. Пусть точка B находится в начале координат (0, 0, 0). Тогда:
• B = (0, 0, 0)
• D = (6√3, 0, 0)
• C = (6√3, 6√3, 0)
• C1 = (6√3, 6√3, 6√3)
2. Шаг 2: Находим уравнение плоскости BDC1. Векторы, лежащие в плоскости:
• ̅BD = (6√3, 0, 0)
• ̅BC1 = (6√3, 6√3, 6√3)
3. Найдем нормальный вектор плоскости, как векторное произведение ̅BD и ̅BC1:
• ̅n = ̅BD × ̅BC1 = (0 − 0, 0 − (6√3 − 0), 6√3 − 0) = (0, −18√3, 18√3)
4. Упростим нормальный вектор: (0, −1, 1).
5. Уравнение плоскости имеет вид: 0(x − 0) − 1(y − 0) + 1(z − 0) = 0, то есть −y + z = 0.
6. Шаг 3: Находим расстояние от точки C(6√3, 6√3, 0) до плоскости −y + z = 0.
7. Используем формулу расстояния от точки (x0, y0, z0) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0:
8. \[ d = rac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{√{A^2 + B^2 + C^2}} \]
9. В нашем случае A=0, B=-1, C=1, D=0, x0=6√3, y0=6√3, z0=0.
10. \[ d = rac{|0 · 6√3 + (−1) · 6√3 + 1 · 0 + 0|}{√{0^2 + (−1)^2 + 1^2}} \]
11. \[ d = rac{|0 − 6√3 + 0|}{√{0 + 1 + 1}} = rac{6√3}{√2} = rac{6√6}{2} = 3√6 \]

Ответ: 3√6