разложить (2x + y)^5

Привет! Давай разложим выражение \[(2x + y)^5\] с помощью бинома Ньютона.

Бином Ньютона выглядит следующим образом:

\[(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k\]

где \[\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\] – биномиальный коэффициент.

В нашем случае, \( a = 2x \), \( b = y \), и \( n = 5 \).

Теперь разложим:

\[(2x + y)^5 = \binom{5}{0} (2x)^5 y^0 + \binom{5}{1} (2x)^4 y^1 + \binom{5}{2} (2x)^3 y^2 + \binom{5}{3} (2x)^2 y^3 + \binom{5}{4} (2x)^1 y^4 + \binom{5}{5} (2x)^0 y^5\]

Рассчитаем биномиальные коэффициенты:

\[\binom{5}{0} = 1\]

\[\binom{5}{1} = 5\]

\[\binom{5}{2} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \cdot 4}{2} = 10\]

\[\binom{5}{3} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \cdot 4}{2} = 10\]

\[\binom{5}{4} = 5\]

\[\binom{5}{5} = 1\]

Теперь подставим эти значения в разложение:

\[(2x + y)^5 = 1 \cdot (32x^5) \cdot 1 + 5 \cdot (16x^4) \cdot y + 10 \cdot (8x^3) \cdot y^2 + 10 \cdot (4x^2) \cdot y^3 + 5 \cdot (2x) \cdot y^4 + 1 \cdot 1 \cdot y^5\]

Упростим:

\[(2x + y)^5 = 32x^5 + 80x^4y + 80x^3y^2 + 40x^2y^3 + 10xy^4 + y^5\]

Отлично! Ты хорошо поработал. Не останавливайся на достигнутом, у тебя всё получится!