Разложите на множители квадратный трёхчлен: a) x² - 14x + 45; б) 3y² + 7y - 6. Решите уравнение: a) x²/x+3 = 5x-6/x+3 ; б) x²+9x+18/x²-36 = 5/x-6. Не выполняя построения, найдите абсциссы точек пересечения графиков функций y = 5/x и y = x + 4. Моторная лодка прошла против течения реки 120 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 ч меньше. Найдите собственную скорость лодки, если скорость течения реки равна 1 км/ч.

Задание 1

Разложим квадратные трехчлены на множители. Для этого найдем корни квадратных уравнений и воспользуемся формулой ax² + bx + c = a(x - x₁) (x - x₂), где x₁ и x₂ – корни уравнения.

a) x² - 14x + 45

Решаем уравнение x² - 14x + 45 = 0.

Дискриминант D = (-14)² - 4 * 1 * 45 = 196 - 180 = 16.

Корни x₁ = (14 + √16) / 2 = (14 + 4) / 2 = 9, x₂ = (14 - √16) / 2 = (14 - 4) / 2 = 5.

Разложение на множители: x² - 14x + 45 = (x - 9)(x - 5).

б) 3y² + 7y - 6

Решаем уравнение 3y² + 7y - 6 = 0.

Дискриминант D = 7² - 4 * 3 * (-6) = 49 + 72 = 121.

Корни y₁ = (-7 + √121) / (2 * 3) = (-7 + 11) / 6 = 4 / 6 = 2 / 3, y₂ = (-7 - √121) / (2 * 3) = (-7 - 11) / 6 = -18 / 6 = -3.

Разложение на множители: 3y² + 7y - 6 = 3(y - 2/3)(y + 3) = (3y - 2)(y + 3).

Ответ: a) (x - 9)(x - 5); б) (3y - 2)(y + 3)

Задание 2

Решим уравнения.

a) x² / (x + 3) = (5x - 6) / (x + 3)

Умножаем обе части уравнения на (x + 3), при условии, что x ≠ -3:

x² = 5x - 6

x² - 5x + 6 = 0

Дискриминант D = (-5)² - 4 * 1 * 6 = 25 - 24 = 1.

Корни x₁ = (5 + √1) / 2 = (5 + 1) / 2 = 3, x₂ = (5 - √1) / 2 = (5 - 1) / 2 = 2.

Оба корня не равны -3, значит, они являются решениями уравнения.

б) (x² + 9x + 18) / (x² - 36) = 5 / (x - 6)

Разложим знаменатель x² - 36 на множители как разность квадратов: x² - 36 = (x - 6)(x + 6).

Разложим числитель x² + 9x + 18 на множители. Решаем уравнение x² + 9x + 18 = 0.

Дискриминант D = 9² - 4 * 1 * 18 = 81 - 72 = 9.

Корни x₁ = (-9 + √9) / 2 = (-9 + 3) / 2 = -3, x₂ = (-9 - √9) / 2 = (-9 - 3) / 2 = -6.

Тогда x² + 9x + 18 = (x + 3)(x + 6).

Уравнение принимает вид: ((x + 3)(x + 6)) / ((x - 6)(x + 6)) = 5 / (x - 6).

Умножаем обе части уравнения на (x - 6)(x + 6), при условии, что x ≠ 6 и x ≠ -6:

(x + 3)(x + 6) = 5(x + 6)

(x + 3)(x + 6) - 5(x + 6) = 0

(x + 6)(x + 3 - 5) = 0

(x + 6)(x - 2) = 0

Корни x = -6, x = 2.

Так как x ≠ 6 и x ≠ -6, то x = -6 не является решением. Следовательно, решением является только x = 2.

Ответ: a) x = 3, x = 2; б) x = 2

Задание 3

Найдем абсциссы точек пересечения графиков функций y = 5 / x и y = x + 4.

Приравниваем значения y: 5 / x = x + 4

Умножаем обе части уравнения на x, при условии, что x ≠ 0: 5 = x² + 4x

x² + 4x - 5 = 0

Дискриминант D = 4² - 4 * 1 * (-5) = 16 + 20 = 36.

Корни x₁ = (-4 + √36) / 2 = (-4 + 6) / 2 = 1, x₂ = (-4 - √36) / 2 = (-4 - 6) / 2 = -5.

Оба корня не равны 0, значит, они являются решениями уравнения.

Ответ: x = 1, x = -5

Задание 4

Пусть v – собственная скорость лодки (км/ч). Тогда скорость лодки по течению реки равна v + 1 км/ч, а против течения – v - 1 км/ч.

Время, затраченное на путь против течения, составляет 120 / (v - 1) часов, а на путь по течению – 120 / (v + 1) часов.

По условию, на обратный путь лодка затратила на 2 часа меньше, поэтому:

120 / (v - 1) - 120 / (v + 1) = 2

Умножаем обе части уравнения на (v - 1)(v + 1):

120(v + 1) - 120(v - 1) = 2(v² - 1)

120v + 120 - 120v + 120 = 2v² - 2

240 = 2v² - 2

2v² = 242

v² = 121

v = √121 = 11 (так как скорость не может быть отрицательной).

Собственная скорость лодки равна 11 км/ч.

Ответ: 11 км/ч

Ты отлично справился с этими задачами! Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!