Разложите на множители квадратный трёхчлен 3x^2+5x-2.

Решение:

Для разложения квадратного трёхчлена \( 3x^2 + 5x - 2 \) на множители, найдём его корни. Приравняем трёхчлен к нулю:

\[ 3x^2 + 5x - 2 = 0 \]

Воспользуемся формулой дискриминанта \( D = b^2 - 4ac \):

\[ D = 5^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49 \]

Так как \( D > 0 \), найдём два корня:

\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{-5 + 7}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \]

\[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{-5 - 7}{6} = \frac{-12}{6} = -2 \]

Теперь разложим трёхчлен на множители по формуле \( ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2) \):

\[ 3x^2 + 5x - 2 = 3 \left( x - \frac{1}{3} \right) (x - (-2)) = 3 \left( x - \frac{1}{3} \right) (x + 2) \]

Раскроем скобки:

\[ (3x - 1)(x + 2) \]

Проверим:

\[ (3x - 1)(x + 2) = 3x \cdot x + 3x \cdot 2 - 1 \cdot x - 1 \cdot 2 = 3x^2 + 6x - x - 2 = 3x^2 + 5x - 2 \]

Это соответствует исходному трёхчлену.

Среди предложенных вариантов:

• (3x+2)(x+1)
• (3x + 1)(x - 2)
• (3x-2)(x-1)
• (3x-1)(x+2)

Правильный ответ — (3x-1)(x+2).

Ответ: (3x-1)(x+2).