Разложите на множители квадратный трехчлен: 1) x²-2x-24; 2) 3x²+14x-5. Решите уравнение: 1) x²+2x-8=0; 2) (x²-8x-4)/(x+5) = (x)/(x+5) Сократите дробь (2a²+9a-5)/(a²-25) Решите уравнение (x+3)/(x²+4x+4) = (3)/(x-2) Теплоход прошёл 72 км против течения реки и 56 км по течению, затратив на путь против течения на 1 ч больше, чем на путь по течению. Найдите собственную скорость теплохода, если скорость течения реки составляет 2 км/ч. Постройте график функции y=(x²+4x-5)/(x-1)

Разбираемся с заданиями по алгебре. Помогу тебе с каждым из них!

Вариант 3

1. Разложение на множители квадратного трехчлена:

1) \(x^2 - 2x - 24\)

Решаем квадратное уравнение \(x^2 - 2x - 24 = 0\). Дискриминант: \(D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 4 + 96 = 100\)

Корни: \(x_1 = (2 + \sqrt{100}) / 2 = (2 + 10) / 2 = 6\), \(x_2 = (2 - \sqrt{100}) / 2 = (2 - 10) / 2 = -4\)

Разложение: \(x^2 - 2x - 24 = (x - 6)(x + 4)\)

2) \(3x^2 + 14x - 5\)

Решаем квадратное уравнение \(3x^2 + 14x - 5 = 0\). Дискриминант: \(D = 14^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-5) = 196 + 60 = 256\)

Корни: \(x_1 = (-14 + \sqrt{256}) / (2 \cdot 3) = (-14 + 16) / 6 = 1/3\), \(x_2 = (-14 - \sqrt{256}) / (2 \cdot 3) = (-14 - 16) / 6 = -5\)

Разложение: \(3x^2 + 14x - 5 = 3(x - 1/3)(x + 5) = (3x - 1)(x + 5)\)

2. Решите уравнение:

1) \(x^2 + 2x - 8 = 0\)

Дискриминант: \(D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36\)

Корни: \(x_1 = (-2 + \sqrt{36}) / 2 = (-2 + 6) / 2 = 2\), \(x_2 = (-2 - \sqrt{36}) / 2 = (-2 - 6) / 2 = -4\)

2) \((x^2 - 8x - 4) / (x + 5) = x / (x + 5)\)

Умножаем обе части на \((x + 5)\): \(x^2 - 8x - 4 = x\)

Переносим все в одну сторону: \(x^2 - 9x - 4 = 0\)

Дискриминант: \(D = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 81 + 16 = 97\)

Корни: \(x_1 = (9 + \sqrt{97}) / 2\), \(x_2 = (9 - \sqrt{97}) / 2\)

3. Сократите дробь:

\((2a^2 + 9a - 5) / (a^2 - 25)\)

Разложим числитель: \(2a^2 + 9a - 5 = 0\). Дискриминант: \(D = 9^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 81 + 40 = 121\)

Корни: \(a_1 = (-9 + \sqrt{121}) / (2 \cdot 2) = (-9 + 11) / 4 = 1/2\), \(a_2 = (-9 - \sqrt{121}) / (2 \cdot 2) = (-9 - 11) / 4 = -5\)

Разложение числителя: \(2(a - 1/2)(a + 5) = (2a - 1)(a + 5)\)

Разложение знаменателя: \(a^2 - 25 = (a - 5)(a + 5)\)

Сокращение: \((2a - 1)(a + 5) / ((a - 5)(a + 5)) = (2a - 1) / (a - 5)\)

4. Решите уравнение:

\((x + 3) / (x^2 + 4x + 4) = 3 / (x - 2)\)

\((x + 3) / ((x + 2)^2) = 3 / (x - 2)\)

Умножаем обе части на \((x + 2)^2 (x - 2)\): \((x + 3)(x - 2) = 3(x + 2)^2\)

Раскрываем скобки: \(x^2 + x - 6 = 3(x^2 + 4x + 4)\)

\(x^2 + x - 6 = 3x^2 + 12x + 12\)

Переносим все в одну сторону: \(2x^2 + 11x + 18 = 0\)

Дискриминант: \(D = 11^2 - 4 \cdot 2 \cdot 18 = 121 - 144 = -23\)

Так как дискриминант отрицательный, уравнение не имеет действительных корней.

5. Теплоход прошёл 72 км против течения реки и 56 км по течению, затратив на путь против течения на 1 ч больше, чем на путь по течению. Найдите собственную скорость теплохода, если скорость течения реки составляет 2 км/ч.

Пусть \(v\) — собственная скорость теплохода. Тогда скорость по течению — \(v + 2\), а против течения — \(v - 2\).

Время по течению: \(t_1 = 56 / (v + 2)\), время против течения: \(t_2 = 72 / (v - 2)\)

Условие: \(t_2 - t_1 = 1\), то есть \(72 / (v - 2) - 56 / (v + 2) = 1\)

Приводим к общему знаменателю: \(72(v + 2) - 56(v - 2) = (v - 2)(v + 2)\)

Раскрываем скобки: \(72v + 144 - 56v + 112 = v^2 - 4\)

Упрощаем: \(16v + 256 = v^2 - 4\)

Переносим все в одну сторону: \(v^2 - 16v - 260 = 0\)

Дискриминант: \(D = (-16)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-260) = 256 + 1040 = 1296\)

Корни: \(v_1 = (16 + \sqrt{1296}) / 2 = (16 + 36) / 2 = 26\), \(v_2 = (16 - \sqrt{1296}) / 2 = (16 - 36) / 2 = -10\)

Так как скорость не может быть отрицательной, то скорость теплохода равна 26 км/ч.

6. Постройте график функции:

\(y = (x^2 + 4x - 5) / (x - 1)\)

Разложим числитель: \(x^2 + 4x - 5 = (x - 1)(x + 5)\)

Тогда \(y = ((x - 1)(x + 5)) / (x - 1)\). При \(x ≠ 1\), \(y = x + 5\).

График — прямая \(y = x + 5\) с выколотой точкой при \(x = 1\). В этой точке \(y = 1 + 5 = 6\).

Таким образом, график — прямая \(y = x + 5\) с выколотой точкой \((1, 6)\).

Ответ: смотри решение выше

Отличная работа! Ты на верном пути к успеху в алгебре!