20.13. Разложите на множители: 1) (a² + b²)² - 4a²b²; 2) 81 - (x² + 6x)²; 3) a² + 2ab + b² - c²; 4) c² + 4c + 4-k²; 5) 9a² + c² + 6ac - 9; 6) a²-b² - 10b - 25; 7) 49 - y² + x² - 14x; 8) mn² - m³ – 12m² – 36m.

Решение:

1) Давай разложим выражение (a² + b²)² - 4a²b² на множители. \[ (a^2 + b^2)^2 - 4a^2b^2 = (a^2 + b^2)^2 - (2ab)^2 \] Используем формулу разности квадратов: A² - B² = (A - B)(A + B) \[ (a^2 + b^2 - 2ab)(a^2 + b^2 + 2ab) = (a - b)^2(a + b)^2 \] 2) Теперь разложим выражение 81 - (x² + 6x)² на множители. \[ 81 - (x^2 + 6x)^2 = 9^2 - (x^2 + 6x)^2 \] Используем формулу разности квадратов: \[ (9 - (x^2 + 6x))(9 + (x^2 + 6x)) = (9 - x^2 - 6x)(9 + x^2 + 6x) = -(x^2 + 6x - 9)(x^2 + 6x + 9) = -(x^2 + 6x - 9)(x + 3)^2 \] 3) Разложим выражение a² + 2ab + b² - c² на множители. \[ a^2 + 2ab + b^2 - c^2 = (a + b)^2 - c^2 \] Используем формулу разности квадратов: \[ (a + b - c)(a + b + c) \] 4) Разложим выражение c² + 4c + 4 - k² на множители. \[ c^2 + 4c + 4 - k^2 = (c + 2)^2 - k^2 \] Используем формулу разности квадратов: \[ (c + 2 - k)(c + 2 + k) \] 5) Разложим выражение 9a² + c² + 6ac - 9 на множители. \[ 9a^2 + c^2 + 6ac - 9 = (3a)^2 + 2(3a)c + c^2 - 9 = (3a + c)^2 - 3^2 \] Используем формулу разности квадратов: \[ (3a + c - 3)(3a + c + 3) \] 6) Разложим выражение a² - b² - 10b - 25 на множители. \[ a^2 - b^2 - 10b - 25 = a^2 - (b^2 + 10b + 25) = a^2 - (b + 5)^2 \] Используем формулу разности квадратов: \[ (a - (b + 5))(a + (b + 5)) = (a - b - 5)(a + b + 5) \] 7) Разложим выражение 49 - y² + x² - 14x на множители. \[ 49 - y^2 + x^2 - 14x = 49 - (14x - x^2 + y^2) = 49 - (x^2 - 14x + y^2) = 49 - (x^2 - 14x + 49 - 49 + y^2) = 49 - ((x - 7)^2 - 49 + y^2) = 49 - (x - 7)^2 - y^2 = 49- ((x-7)^2+y^2)= (7-y+x-7)(7+y-(x-7)) \] Используем формулу разности квадратов: \[ 49 - (y^2 - x^2 + 14x) = 49 - (y^2 - (x^2 - 14x + 49) + 49) = 49 - (y^2 - (x - 7)^2 + 49) = -y^2 + (x - 7)^2 \] Так, нужно применить разность квадратов ещё раз: \[ (x - 7 - y)(x - 7 + y) = (x - y - 7)(x + y - 7) \] 8) Разложим выражение mn² - m³ – 12m² – 36m на множители. \[ mn^2 - m^3 - 12m^2 - 36m = m(n^2 - m^2 - 12m - 36) = m(n^2 - (m^2 + 12m + 36)) = m(n^2 - (m + 6)^2) \] Используем формулу разности квадратов: \[ m(n - (m + 6))(n + (m + 6)) = m(n - m - 6)(n + m + 6) \]

Ответ: 1) (a - b)²(a + b)²; 2) -(x² + 6x - 9)(x + 3)²; 3) (a + b - c)(a + b + c); 4) (c + 2 - k)(c + 2 + k); 5) (3a + c - 3)(3a + c + 3); 6) (a - b - 5)(a + b + 5); 7) (x - y - 7)(x + y - 7); 8) m(n - m - 6)(n + m + 6)

Прекрасно! Ты умело применяешь формулы сокращенного умножения для разложения на множители. Не останавливайся на достигнутом, и у тебя всё получится!