145. Разложите на множители: 2 1) a² – 2ab + b² – 25; - 2) x² - 1662 + 8bc – c²; 2 3) a³x² - ax - 4a³ - 2a; - 2 4) a³ – 27 + a² – 3а; - 5) 610 – 2568 – 4064 – 16; - 6) 8a³ – 27b3 + 4a² - 12ab + 9b2; - 7) 4x² - 12xy + 2 y² - 4a² + 4ab – b²; 8) x² – y² – 6x + 9. - 146. Решите уравнение: 1) 7x3 – 63x = 0; - 2) 49x3 – 14x² + x = 0; - 3) x³ – 5x2 – x + 5 = 0; 4) x3 – 3x² + 4x − 12 = 0; - - 5) 4x4 + 12x3 - 4x² - 12x = 0; 6) x5 - 4x4 + 4x3 - x² + 4x - 4 = 0. 147. Разложите на множители трёхчлен, выделив квадрат двучлена: 1) x2 - 6x + 8; 3) x² - 4x - 21; 2) x² + 8x + 7; 4) x² + 10x + 9. 148. Известно, что a - b = 3, ab = -2. Найдите значение вы- ражения: 1) a²b - b²a; 2) a² + b²; 3) a³-b³.

145. Разложите на множители:

1) \(a^2 - 2ab + b^2 - 25\)

Давай разберем по порядку. Сначала сгруппируем первые три члена, чтобы увидеть полный квадрат:

\[ (a^2 - 2ab + b^2) - 25 = (a - b)^2 - 5^2 \]

Теперь у нас разность квадратов, которую можно разложить на множители:

\[ (a - b - 5)(a - b + 5) \]

Ответ: \((a - b - 5)(a - b + 5)\)

2) \(x^2 - 16b^2 + 8bc - c^2\)

Сгруппируем последние три члена и вынесем минус за скобки:

\[ x^2 - (16b^2 - 8bc + c^2) = x^2 - (4b - c)^2 \]

Теперь у нас снова разность квадратов:

\[ (x - (4b - c))(x + (4b - c)) = (x - 4b + c)(x + 4b - c) \]

Ответ: \((x - 4b + c)(x + 4b - c)\)

3) \(a^3x^2 - ax - 4a^3 - 2a\)

Вынесем общий множитель \(a\) за скобки:

\[ a(a^2x^2 - x - 4a^2 - 2) \]

Сгруппируем члены:

\[ a((a^2x^2 - 4a^2) - (x + 2)) = a(a^2(x^2 - 4) - (x + 2)) \]

Разложим разность квадратов:

\[ a(a^2(x - 2)(x + 2) - (x + 2)) \]

Вынесем \((x + 2)\) за скобки:

\[ a(x + 2)(a^2(x - 2) - 1) = a(x + 2)(a^2x - 2a^2 - 1) \]

Ответ: \(a(x + 2)(a^2x - 2a^2 - 1)\)

4) \(a^3 - 27 + a^2 - 3a\)

Сгруппируем члены и используем формулу разности кубов:

\[ (a^3 - 27) + (a^2 - 3a) = (a - 3)(a^2 + 3a + 9) + a(a - 3) \]

Вынесем общий множитель \((a - 3)\) за скобки:

\[ (a - 3)(a^2 + 3a + 9 + a) = (a - 3)(a^2 + 4a + 9) \]

Ответ: \((a - 3)(a^2 + 4a + 9)\)

5) \(b^{10} - 25b^8 - 40b^4 - 16\)

Это выражение можно представить как разность квадратов, если добавить и вычесть \(25b^8\) :

\[ b^{10} - 25b^8 + (25b^8 - 25b^8) - 40b^4 - 16 \]

Сгруппируем и выделим полный квадрат:

\[ (b^{10} - 25b^8) - (40b^4 + 16) = (b^5)^2 - 2 \cdot b^5 \cdot 5b^3 + (5b^3)^2 - (2 \cdot 5b^3 \cdot 4 + 4^2) \] \[ (b^5 - 5b^3)^2 - (2 \cdot 5b^3 \cdot 4 + 4^2) \]

Представим \(25b^8\) как \(25b^8 = (5b^4)^2\). Тогда:

\[ b^{10} - 25b^8 - 40b^4 - 16 = (b^5)^2 - (5b^4 + 4)^2 = (b^5 - 5b^4 - 4)(b^5 + 5b^4 + 4) \]

Ответ: \((b^5 - 5b^4 - 4)(b^5 + 5b^4 + 4)\)

6) \(8a^3 - 27b^3 + 4a^2 - 12ab + 9b^2\)

Здесь у нас разность кубов и полный квадрат. Запишем разность кубов как:

\[ (2a - 3b)(4a^2 + 6ab + 9b^2) + (4a^2 - 12ab + 9b^2) \] \[ (2a - 3b)(4a^2 + 6ab + 9b^2) + (2a - 3b)^2 \]

Вынесем \((2a - 3b)\) за скобки:

\[ (2a - 3b)((4a^2 + 6ab + 9b^2) + (2a - 3b)) = (2a - 3b)(4a^2 + 6ab + 9b^2 + 2a - 3b) \]

Ответ: \((2a - 3b)(4a^2 + 6ab + 9b^2 + 2a - 3b)\)

7) \(4x^2 - 12xy + 9y^2 - 4a^2 + 4ab - b^2\)

Первые три члена образуют полный квадрат, и последние три члена тоже (с минусом):

\[ (4x^2 - 12xy + 9y^2) - (4a^2 - 4ab + b^2) = (2x - 3y)^2 - (2a - b)^2 \]

Теперь у нас разность квадратов:

\[ ((2x - 3y) - (2a - b))((2x - 3y) + (2a - b)) = (2x - 3y - 2a + b)(2x - 3y + 2a - b) \]

Ответ: \((2x - 3y - 2a + b)(2x - 3y + 2a - b)\)

8) \(x^2 - y^2 - 6x + 9\)

Перегруппируем члены:

\[ (x^2 - 6x + 9) - y^2 = (x - 3)^2 - y^2 \]

Разность квадратов:

\[ (x - 3 - y)(x - 3 + y) \]

Ответ: \((x - 3 - y)(x - 3 + y)\)

146. Решите уравнение:

1) \(7x^3 - 63x = 0\)

Вынесем \(7x\) за скобки:

\[ 7x(x^2 - 9) = 0 \]

Разложим разность квадратов:

\[ 7x(x - 3)(x + 3) = 0 \]

Значит, \(x = 0\), \(x = 3\) или \(x = -3\).

Ответ: \(x = 0, 3, -3\)

2) \(49x^3 - 14x^2 + x = 0\)

Вынесем \(x\) за скобки:

\[ x(49x^2 - 14x + 1) = 0 \]

Заметим, что в скобках полный квадрат:

\[ x(7x - 1)^2 = 0 \]

Значит, \(x = 0\) или \(7x - 1 = 0\), то есть \(x = \frac{1}{7}\).

Ответ: \(x = 0, \frac{1}{7}\)

3) \(x^3 - 5x^2 - x + 5 = 0\)

Сгруппируем члены:

\[ (x^3 - 5x^2) - (x - 5) = 0 \] \[ x^2(x - 5) - (x - 5) = 0 \]

Вынесем \((x - 5)\) за скобки:

\[ (x - 5)(x^2 - 1) = 0 \]

Разложим разность квадратов:

\[ (x - 5)(x - 1)(x + 1) = 0 \]

Значит, \(x = 5\), \(x = 1\) или \(x = -1\).

Ответ: \(x = 5, 1, -1\)

4) \(x^3 - 3x^2 + 4x - 12 = 0\)

Сгруппируем члены:

\[ (x^3 - 3x^2) + (4x - 12) = 0 \] \[ x^2(x - 3) + 4(x - 3) = 0 \]

Вынесем \((x - 3)\) за скобки:

\[ (x - 3)(x^2 + 4) = 0 \]

Значит, \(x = 3\) или \(x^2 + 4 = 0\). Но \(x^2 + 4 > 0\) для всех вещественных \(x\), поэтому единственный корень \(x = 3\).

Ответ: \(x = 3\)

5) \(4x^4 + 12x^3 - 4x^2 - 12x = 0\)

Вынесем \(4x\) за скобки:

\[ 4x(x^3 + 3x^2 - x - 3) = 0 \]

Сгруппируем члены:

\[ 4x((x^3 + 3x^2) - (x + 3)) = 0 \] \[ 4x(x^2(x + 3) - (x + 3)) = 0 \]

Вынесем \((x + 3)\) за скобки:

\[ 4x(x + 3)(x^2 - 1) = 0 \]

Разложим разность квадратов:

\[ 4x(x + 3)(x - 1)(x + 1) = 0 \]

Значит, \(x = 0\), \(x = -3\), \(x = 1\) или \(x = -1\).

Ответ: \(x = 0, -3, 1, -1\)

6) \(x^5 - 4x^4 + 4x^3 - x^2 + 4x - 4 = 0\)

Сгруппируем члены:

\[ (x^5 - 4x^4 + 4x^3) - (x^2 - 4x + 4) = 0 \] \[ x^3(x^2 - 4x + 4) - (x^2 - 4x + 4) = 0 \]

Вынесем \((x^2 - 4x + 4)\) за скобки:

\[ (x^2 - 4x + 4)(x^3 - 1) = 0 \]

Разложим скобки:

\[ (x - 2)^2(x - 1)(x^2 + x + 1) = 0 \]

Значит, \(x = 2\) или \(x = 1\). Квадратный трехчлен \(x^2 + x + 1\) не имеет вещественных корней, так как его дискриминант отрицательный (\(D = 1 - 4 = -3\)).

Ответ: \(x = 2, 1\)

147. Разложите на множители трёхчлен, выделив квадрат двучлена:

1) \(x^2 - 6x + 8\)

Выделим полный квадрат:

\[ x^2 - 6x + 8 = (x^2 - 6x + 9) - 9 + 8 = (x - 3)^2 - 1 = (x - 3 - 1)(x - 3 + 1) = (x - 4)(x - 2) \]

Ответ: \((x - 4)(x - 2)\)

2) \(x^2 + 8x + 7\)

Выделим полный квадрат:

\[ x^2 + 8x + 7 = (x^2 + 8x + 16) - 16 + 7 = (x + 4)^2 - 9 = (x + 4 - 3)(x + 4 + 3) = (x + 1)(x + 7) \]

Ответ: \((x + 1)(x + 7)\)

3) \(x^2 - 4x - 21\)

Выделим полный квадрат:

\[ x^2 - 4x - 21 = (x^2 - 4x + 4) - 4 - 21 = (x - 2)^2 - 25 = (x - 2 - 5)(x - 2 + 5) = (x - 7)(x + 3) \]

Ответ: \((x - 7)(x + 3)\)

4) \(x^2 + 10x + 9\)

Выделим полный квадрат:

\[ x^2 + 10x + 9 = (x^2 + 10x + 25) - 25 + 9 = (x + 5)^2 - 16 = (x + 5 - 4)(x + 5 + 4) = (x + 1)(x + 9) \]

Ответ: \((x + 1)(x + 9)\)

148. Известно, что \(a - b = 3\), \(ab = -2\). Найдите значение выражения:

1) \(a^2b - b^2a\)

Вынесем \(ab\) за скобки:

\[ a^2b - b^2a = ab(a - b) = -2 \cdot 3 = -6 \]

Ответ: \(-6\)

2) \(a^2 + b^2\)

Используем формулу:

\[ (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \]

Тогда:

\[ a^2 + b^2 = (a - b)^2 + 2ab = 3^2 + 2 \cdot (-2) = 9 - 4 = 5 \]

Ответ: \(5\)

3) \(a^3 - b^3\)

Используем формулу разности кубов:

\[ a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) \]

Мы уже знаем, что \(a^2 + b^2 = 5\), поэтому:

\[ a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) = 3(5 + (-2)) = 3 \cdot 3 = 9 \]

Ответ: \(9\)

Ты молодец! Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!