Разложите на множители: 60y² – 20y - 5

Решение:

Данный многочлен является квадратным трёхчленом вида \( ay^2 + by + c \). Для разложения на множители сначала вынесем общий множитель 5:

\( 60y^2 - 20y - 5 = 5(12y^2 - 4y - 1) \)

Теперь разложим квадратный трёхчлен \( 12y^2 - 4y - 1 \). Найдем корни соответствующего уравнения \( 12y^2 - 4y - 1 = 0 \) с помощью дискриминанта:

\( D = b^2 - 4ac \)

\( a = 12, b = -4, c = -1 \)

\( D = (-4)^2 - 4 \cdot 12 \cdot (-1) = 16 + 48 = 64 \)

\( \sqrt{D} = \sqrt{64} = 8 \)

Найдем корни:

\( y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + 8}{2 \cdot 12} = \frac{12}{24} = \frac{1}{2} \)

\( y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - 8}{2 \cdot 12} = \frac{-4}{24} = -\frac{1}{6} \)

Теперь запишем разложение на множители для \( 12y^2 - 4y - 1 \) в виде \( a(y - y_1)(y - y_2) \):

\( 12(y - \frac{1}{2})(y - (-\frac{1}{6})) = 12(y - \frac{1}{2})(y + \frac{1}{6}) \)

Умножим 12 на множители, чтобы избавиться от дробей:

\( 12 \cdot (y - \frac{1}{2}) \cdot (y + \frac{1}{6}) = (2y - 1)(6y + 1) \)

Теперь вернемся к исходному выражению, умножив на 5:

\( 5(2y - 1)(6y + 1) \)

Проверим:

\( 5(12y^2 + 2y - 6y - 1) = 5(12y^2 - 4y - 1) = 60y^2 - 20y - 5 \)

Ответ: 5(2y - 1)(6y + 1).