Разложите на множители: 1) x² - x - 12 2) x² + 2x - 35 3) 3x² - 16x + 5 4) 16x² - 24x + 3 5) 4x² + 28x + 49 6) 3x² + 21x - 90

Решение:

• 1. Для разложения квадратного трехчлена \(x^2 - x - 12\) ищем два числа, произведение которых равно -12, а сумма равна -1. Это числа -4 и 3. Поэтому \(x^2 - x - 12 = (x - 4)(x + 3)\).
• 2. Для \(x^2 + 2x - 35\) ищем два числа, произведение которых равно -35, а сумма равна 2. Это числа 7 и -5. Поэтому \(x^2 + 2x - 35 = (x + 7)(x - 5)\).
• 3. Для \(3x^2 - 16x + 5\) используем формулу \(ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)\), где \(x_1, x_2\) - корни уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\). Найдем дискриминант \(D = b^2 - 4ac = (-16)^2 - 4 3 5 = 256 - 60 = 196\). Корни: \(x_1 = \frac{16 - \sqrt{196}}{2 3} = \frac{16 - 14}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\), \(x_2 = \frac{16 + 14}{6} = \frac{30}{6} = 5\). Поэтому \(3x^2 - 16x + 5 = 3(x - \frac{1}{3})(x - 5) = (3x - 1)(x - 5)\).
• 4. Для \(16x^2 - 24x + 3\): \(D = (-24)^2 - 4 16 3 = 576 - 192 = 384\). \(x_1 = \frac{24 - \sqrt{384}}{2 16} = \frac{24 - 8\sqrt{6}}{32} = \frac{3 - \sqrt{6}}{4}\), \(x_2 = \frac{24 + 8\sqrt{6}}{32} = \frac{3 + \sqrt{6}}{4}\). \(16x^2 - 24x + 3 = 16(x - \frac{3 - \sqrt{6}}{4})(x - \frac{3 + \sqrt{6}}{4}) = 16(\frac{4x - 3 + \sqrt{6}}{4})(\frac{4x - 3 - \sqrt{6}}{4}) = (4x - 3 + \sqrt{6})(4x - 3 - \sqrt{6})\).
• 5. \(4x^2 + 28x + 49\) - это полный квадрат: \((2x + 7)^2\), так как \((2x)^2 = 4x^2\), \(7^2 = 49\) и \(2 2x 7 = 28x\).
• 6. Вынесем общий множитель 3: \(3(x^2 + 7x - 30)\). Для \(x^2 + 7x - 30\) ищем два числа, произведение которых равно -30, а сумма равна 7. Это числа 10 и -3. Поэтому \(3(x^2 + 7x - 30) = 3(x + 10)(x - 3)\).

Ответ:

• 1. \((x - 4)(x + 3)\)
• 2. \((x + 7)(x - 5)\)
• 3. \((3x - 1)(x - 5)\)
• 4. \(16(\frac{3 - \sqrt{6}}{4})(\frac{3 + \sqrt{6}}{4})\) или \((4x - 3 + \sqrt{6})(4x - 3 - \sqrt{6})\)
• 5. \((2x + 7)^2\)
• 6. \(3(x + 10)(x - 3)\)