Разложи на множители (u + 8v)^2 – (8u + v)^2. (Найди конечное разложение, в котором каждый множитель, кроме числового коэффициента, уже нельзя разложить на множители!)

Привет! Давай разберемся с этим заданием вместе. Нам нужно разложить на множители выражение:

\[ (u + 8v)^2 - (8u + v)^2 \]

Это похоже на формулу разности квадратов: $$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$$.

В нашем случае:

• $$a = (u + 8v)$$
• $$b = (8u + v)$$

Теперь подставим это в формулу:

1. Вычислим $$(a - b)$$:
• \[ (u + 8v) - (8u + v) \]
• \[ u + 8v - 8u - v \]
• \[ -7u + 7v \]
• \[ 7(v - u) \]
2. Вычислим $$(a + b)$$:
• \[ (u + 8v) + (8u + v) \]
• \[ u + 8v + 8u + v \]
• \[ 9u + 9v \]
• \[ 9(u + v) \]

Теперь соединим результаты:

\[ (a - b)(a + b) = (7(v - u))  (9(u + v)) \]

\[ 63 (v - u)(u + v) \]

Обрати внимание, что $$(v - u)$$ можно записать как $$-(u - v)$$. Тогда выражение будет:

\[ -63 (u - v)(u + v) \]

Это тоже верный вариант. Но давай посмотрим на предложенные ответы.

Мы получили:

• $$63(v - u)(u + v)$$
• $$-63(u - v)(u + v)$$

Среди вариантов есть:

• $$63(-u + v)  (u + v)$$

Заметим, что $$(-u + v)$$ это то же самое, что $$(v - u)$$. Значит, первый вариант нам подходит!

Проверим другие варианты:

• $$(u^2 + 64v^2)  (64u^2 + v^2)$$ — это неверно, мы применяли разность квадратов, а не возводили в квадрат.
• Другой ответ — возможно, но давай убедимся, что наш вариант есть.
• $$-63u^2 + 63v^2$$ — это результат раскрытия скобок, а нам нужно разложение на множители.
• $$63(u^2 - v^2)$$ — здесь у нас $$v-u$$ и $$u+v$$, а не $$u^2 - v^2$$.
• $$(u^2 + 16uv + 64v^2) - (64u^2 + 16uv + v^2)$$ — это тоже неверно, так как это просто раскрытие скобок исходного выражения, а не его разложение на множители.

Итак, наш вариант $$63(v - u)(u + v)$$ совпадает с первым предложенным ответом, если учесть, что $$(-u + v) = (v - u)$$.

Ответ: 63(-u + v)  (u + v)