Разделяя переменные в уравнении \( (xy-x)dx+(xy+x-y-1)dy = 0 \), получим решение...

Решение:

Дано дифференциальное уравнение: \( (xy-x)dx + (xy+x-y-1)dy = 0 \).

Перепишем уравнение в виде: \( x(y-1)dx + (xy+x-y-1)dy = 0 \).

Для разделения переменных, сгруппируем члены:

\( x(y-1)dx = -(xy+x-y-1)dy \)

\( \frac{dx}{-(xy+x-y-1)} = \frac{dy}{x(y-1)} \)

Необходимо преобразовать выражение в числителе правой части, чтобы получить разделение переменных.

Рассмотрим вариант ответа: \( x+y+\ln|x-1|(y-1)^2| = C \)

Продифференцируем это уравнение:

\( d(x+y+\ln|x-1|(y-1)^2) = dC \)

\( dx + dy + d(\ln|x-1|(y-1)^2) = 0 \)

\( dx + dy + \frac{1}{|x-1|(y-1)^2} d(|x-1|(y-1)^2) = 0 \)

\( dx + dy + \frac{1}{(x-1)(y-1)^2} [ (y-1)^2 d(x-1) + (x-1) d((y-1)^2) ] = 0 \)

\( dx + dy + \frac{1}{(x-1)(y-1)^2} [ (y-1)^2 dx + (x-1) 2(y-1) dy ] = 0 \)

\( dx + dy + \frac{(y-1)^2}{(x-1)(y-1)^2} dx + \frac{2(x-1)(y-1)}{(x-1)(y-1)^2} dy = 0 \)

\( dx + dy + \frac{1}{x-1} dx + \frac{2}{y-1} dy = 0 \)

\( (1 + \frac{1}{x-1}) dx + (1 + \frac{2}{y-1}) dy = 0 \)

\( (\frac{x-1+1}{x-1}) dx + (\frac{y-1+2}{y-1}) dy = 0 \)

\( \frac{x}{x-1} dx + \frac{y+1}{y-1} dy = 0 \)

Это не соответствует исходному уравнению. Попробуем другое представление:

\( x(y-1)dx = -(xy+x-y-1)dy \)

\( \frac{x}{xy+x-y-1}dx = -\frac{dy}{y-1} \)

Попробуем разложить знаменатель \( xy+x-y-1 = x(y+1) - (y+1) = (x-1)(y+1) \).

Тогда уравнение станет: \( x(y-1)dx = -(x-1)(y+1)dy \)

\( \frac{x}{x-1} dx = -\frac{y+1}{y-1} dy \)

Интегрируем обе части:

\[ \int \frac{x}{x-1} dx = -\int \frac{y+1}{y-1} dy \]

\[ \int \frac{x-1+1}{x-1} dx = -\int \frac{y-1+2}{y-1} dy \]

\[ \int (1 + \frac{1}{x-1}) dx = -\int (1 + \frac{2}{y-1}) dy \]

\[ x + \ln|x-1| = -(y + 2\ln|y-1|) + C \]

\[ x + y + \ln|x-1| + 2\ln|y-1| = C \]

\[ x + y + \ln|x-1| + \ln|(y-1)^2| = C \]

\[ x + y + \ln(|x-1|(y-1)^2) = C \]

Это соответствует первому варианту ответа.

Примечание: В исходном уравнении, скорее всего, опечатка, и оно должно быть \( x(y-1)dx+(x-1)(y+1)dy=0 \) для получения одного из предложенных вариантов. Если исходить из предложенных вариантов, то первый является верным при определенной модификации исходного уравнения.

Ответ: x+y+\(\ln\) |x-1|(y-1)^2| = C