Равносильны ли уравнения: a) sqrt(2x^2 + 2) = sqrt(x^4 + 3) и 2x^2 + 2 = x^4 + 3;

Решение:

Проверим, равносильны ли уравнения:

1. Первое уравнение: \( \sqrt{2x^2 + 2} = \sqrt{x^4 + 3} \).


2. Второе уравнение: \( 2x^2 + 2 = x^4 + 3 \).


3. Возведём обе части первого уравнения в квадрат:

\( (\sqrt{2x^2 + 2})^2 = (\sqrt{x^4 + 3})^2 \)

\( 2x^2 + 2 = x^4 + 3 \)

Мы получили уравнение, идентичное второму.

Теперь нужно проверить, есть ли решения у этих уравнений.

Приведём второе уравнение к виду \( x^4 - 2x^2 + 1 = 0 \). Пусть \( y = x^2 \), тогда \( y^2 - 2y + 1 = 0 \).

Решаем квадратное уравнение относительно \( y \):

\( (y - 1)^2 = 0 \)

\( y - 1 = 0 \)

\( y = 1 \)

Возвращаемся к замене: \( x^2 = 1 \).

Это означает, что \( x = 1 \) или \( x = -1 \).

Подставим эти значения в исходные уравнения:

Для x = 1:

Первое уравнение: \( \sqrt{2(1)^2 + 2} = \sqrt{2 + 2} = \sqrt{4} = 2 \). \( \sqrt{(1)^4 + 3} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2 \). \( 2 = 2 \).

Второе уравнение: \( 2(1)^2 + 2 = 2 + 2 = 4 \). \( (1)^4 + 3 = 1 + 3 = 4 \). \( 4 = 4 \).

Для x = -1:

Первое уравнение: \( \sqrt{2(-1)^2 + 2} = \sqrt{2 + 2} = \sqrt{4} = 2 \). \( \sqrt{(-1)^4 + 3} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2 \). \( 2 = 2 \).

Второе уравнение: \( 2(-1)^2 + 2 = 2 + 2 = 4 \). \( (-1)^4 + 3 = 1 + 3 = 4 \). \( 4 = 4 \).

Так как при возведении первого уравнения в квадрат мы получили второе, и оба уравнения имеют одинаковые решения, они являются равносильными.

Ответ: Уравнения равносильны.