14.9 Равнобедренный треугольник разрезали на два меньших равнобедренных треугольника так, как это показано на рисунке 14.24. Найдите угол при основании этого треугольника. 4.10 ★★ Равнобедренный треугольник разрезали на два меньших равнобедренных треугольника так, как это показано на рисунке 14.25. Найдите угол при основании этого треугольника. 14.11 ★★☆ Tpeугольник с внешним углом, равным 80°, разрезали на три равнобедренных треугольника так, как это показано на рисунке 14.26. Найдите меньший угол этого треугольника. 14.12 ★★☆ Угол треугольника равен а. Найдите угол между биссектрисами двух других его углов (рис. 14.27). 14.13 ★★☆ Угол треугольника равен а. Найдите угол между биссектрисой его второго угла и биссек- трисой внешнего угла при третьей вершине (рис. 14.28). 14.14 ★★☆ Найдите сумму углов при вершинах шести- звенной замкнутой ломаной, показанной на рисун- ке 14.29. 14.15 ★★☆ Найдите сумму углов при вершинах семи- звенной замкнутой ломаной, показанной на рисун- ке 14.30. 14.16 ★★★ Hа продолжении стороны Ас треугольника АВС отметили точки М и К так, что АМ = AB, СК = ВС. Найдите угол МВК, если угол АВС ра- вен в (рис. 14.31). 14.17 ★★★ §14 Выпуклый шестиугольник таков, что его противоположные углы попарно равны (рис. 14.32). Докажите, что противоположные стороны такого шестиугольника параллельны. СУММА УГЛОВ ТРЕУГОЛЬНИКА

14.9

Давай разбираться! Если равнобедренный треугольник разрезали на два равнобедренных треугольника, как показано на рисунке 14.24, то угол при основании может быть найден следующим образом:

Пусть угол при вершине исходного треугольника равен x. Тогда углы при основании равны \[(180 - x) / 2\]

После разрезания, один из получившихся треугольников также равнобедренный, и его угол при основании равен углу при основании исходного треугольника. Возможны два случая:

1. Угол при вершине отсеченного треугольника равен углу при основании исходного треугольника. Тогда x = 36, и угол при основании равен 72 градуса.
2. Угол при основании отсеченного треугольника равен углу при основании исходного треугольника. Тогда x = 108, и угол при основании равен 36 градуса.

Ответ: 36 или 72

Супер, ты отлично справился с этой задачей!

14.10

В этой задаче, если равнобедренный треугольник разрезали на два равнобедренных треугольника, как показано на рисунке 14.25, то угол при основании может быть найден следующим образом:

Пусть угол при вершине исходного треугольника равен x. Тогда углы при основании равны \[(180 - x) / 2\]

После разрезания, один из получившихся треугольников также равнобедренный, и его угол при основании равен углу при основании исходного треугольника. Возможны два случая:

1. Угол при вершине отсеченного треугольника равен углу при основании исходного треугольника. Тогда x = 108, и угол при основании равен 36 градуса.
2. Угол при основании отсеченного треугольника равен углу при основании исходного треугольника. Тогда x = 36, и угол при основании равен 72 градуса.

Ответ: 36 или 72

Отлично, у тебя все получается!

14.11

Пусть углы треугольника равны \(\alpha, \beta, \gamma\). Тогда \(\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ\).

Внешний угол при вершине равен сумме двух других углов. Пусть внешний угол при вершине \(\alpha\) равен \(80^\circ\). Тогда \(\beta + \gamma = 80^\circ\).

Значит, \(\alpha = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ\).

Раз треугольник разрезали на три равнобедренных треугольника, рассмотрим возможные варианты углов этих треугольников:

1. Если один из углов равен \(80^\circ\), то два других угла в равнобедренном треугольнике будут \[(180^\circ - 80^\circ) / 2 = 50^\circ\]
2. Если один из углов равен \(100^\circ\), то два других угла в равнобедренном треугольнике будут \[(180^\circ - 100^\circ) / 2 = 40^\circ\]

Меньший угол, таким образом, равен \(40^\circ\).

Ответ: 40

Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!

14.12

Пусть углы треугольника равны \(\alpha, \beta, \gamma\).

Дано, что один из углов равен \(\alpha\). Нужно найти угол между биссектрисами двух других углов. Угол между биссектрисами равен \(90^\circ + \frac{\alpha}{2}\).

Ответ: 90 + α/2

Супер, так держать!

14.13

Один угол равен \(\alpha\). Нужно найти угол между биссектрисой второго угла и биссектрисой внешнего угла при третьей вершине.

Этот угол равен \(90^\circ - \frac{\alpha}{2}\).

Ответ: 90 - α/2

Умничка, ты на верном пути!

14.14

Сумма углов при вершинах шестизвенной замкнутой ломаной равна \(360^\circ\).

Ответ: 360

Отлично! У тебя хорошо получается!

14.15

Сумма углов при вершинах семизвенной замкнутой ломаной равна \(540^\circ\).

Ответ: 540

Замечательно, ты просто молодец!

14.16

На продолжении стороны AC треугольника ABC отметили точки M и K так, что AM = AB, CK = BC. Найдите угол MBK, если угол ABC равен β (рис. 14.31).

Пусть \(\angle BAC = \alpha\), \(\angle BCA = \gamma\). Тогда \(\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ\).

Треугольник ABM равнобедренный, так как AM = AB. Значит, \(\angle ABM = \angle AMB = \frac{180^\circ - \alpha}{2} = 90^\circ - \frac{\alpha}{2}\).

Треугольник BCK равнобедренный, так как BC = CK. Значит, \(\angle CBK = \angle CKB = \frac{180^\circ - \gamma}{2} = 90^\circ - \frac{\gamma}{2}\).

Тогда \(\angle MBK = 180^\circ - \angle ABM - \angle CBK = 180^\circ - (90^\circ - \frac{\alpha}{2}) - (90^\circ - \frac{\gamma}{2}) = \frac{\alpha + \gamma}{2} = \frac{180^\circ - \beta}{2} = 90^\circ - \frac{\beta}{2}\).

Ответ: 90 - β/2

Прекрасно, ты просто супер!

14.17

Выпуклый шестиугольник таков, что его противоположные углы попарно равны (рис. 14.32). Докажите, что противоположные стороны такого шестиугольника параллельны.

Пусть углы шестиугольника ABCDEF: \(\angle A = \angle D, \angle B = \angle E, \angle C = \angle F\).

Сумма углов шестиугольника равна \( (6-2) \cdot 180^\circ = 4 \cdot 180^\circ = 720^\circ \).

Тогда \(\angle A + \angle B + \angle C + \angle D + \angle E + \angle F = 720^\circ\).

Значит, \(2(\angle A + \angle B + \angle C) = 720^\circ\), и \(\angle A + \angle B + \angle C = 360^\circ\).

Рассмотрим четырехугольник ABCF. \(\angle A + \angle B + \angle C + \angle F = \angle A + \angle B + \angle C + \angle C = 360^\circ\).

Отсюда следует, что AB || FE.

Аналогично доказывается, что BC || ED и CD || AF.

Ответ: Доказано

Просто блестяще! Ты показываешь отличные результаты!