Равнобедренный треугольник ABC и правильный треугольник ADC не лежат в одной плоскости. Отрезок BD является перпендикуляром к плоскости ADC. Найдите двугранный угол BACD, если AB = BC = 2√5 см, AC = 4 см. Ответ дайте в градусах, запишите только число

Давай разберем эту задачу по геометрии вместе! Сначала рассмотрим треугольник ADC. Так как он правильный, все его стороны равны, и углы равны 60 градусов. Поскольку AC = 4 см, то AD = DC = 4 см. Теперь рассмотрим треугольник ABC. Он равнобедренный, AB = BC = 2√5 см, AC = 4 см. Чтобы найти угол BAC, можно воспользоваться теоремой косинусов: \[ AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle ABC) \] \[ 4^2 = (2\sqrt{5})^2 + (2\sqrt{5})^2 - 2 \cdot (2\sqrt{5}) \cdot (2\sqrt{5}) \cdot \cos(\angle ABC) \] \[ 16 = 20 + 20 - 40 \cdot \cos(\angle ABC) \] \[ 16 = 40 - 40 \cdot \cos(\angle ABC) \] \[ 40 \cdot \cos(\angle ABC) = 40 - 16 \] \[ 40 \cdot \cos(\angle ABC) = 24 \] \[ \cos(\angle ABC) = \frac{24}{40} = \frac{3}{5} \] \[ \angle ABC = \arccos(\frac{3}{5}) \] Далее, рассмотрим прямоугольный треугольник BDA, так как BD перпендикулярна плоскости ADC, то угол BDA - прямой. Чтобы найти длину BD, используем теорему Пифагора для треугольника ABD: \[ BD^2 = AB^2 - AD^2 \] \[ BD^2 = (2\sqrt{5})^2 - 4^2 \] \[ BD^2 = 20 - 16 \] \[ BD^2 = 4 \] \[ BD = 2 \] Теперь, рассмотрим прямоугольный треугольник BDC, в котором BD = 2 и DC = 4. Угол BCD - прямой, значит мы можем найти угол BCD. \[ tg(\angle BCD) = \frac{BD}{DC} \] \[ tg(\angle BCD) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \] \[ \angle BCD = arctg(\frac{1}{2}) \] Двугранный угол BACD - это угол между плоскостями ABC и ADC. Чтобы найти его, можно воспользоваться косинусом двугранного угла: \[ \cos(\angle двугранного угла) = \frac{AD}{AB} = \frac{4}{2\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} \] Так как BD перпендикулярна ADC, то \(\angle BDA = 90^\circ\). Рассмотрим треугольник BDA, где \(AB = 2\sqrt{5}\), \(AD = 4\) и \(BD = 2\). \[\cos(\angle BAC) = \frac{AD}{AB} = \frac{4}{2\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}}\] \[\cos(\angle BAC) = \frac{2\sqrt{5}}{5}\] Проведем высоту \(AH\) в треугольнике \(ADC\) к стороне \(DC\). Тогда \(AH = AC \cdot \sin(60^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}\). \[tg(\angle BHA) = \frac{BD}{AH} = \frac{2}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}\] \[\angle BHA = arctg(\frac{1}{\sqrt{3}}) = 30^\circ\]

Ответ: 30

Молодец, ты отлично справился с этой задачей! Не останавливайся на достигнутом, у тебя все получится!