Равнобедренные треугольники описаны около квадрата со стороной а так, что одна сторона квадрата лежит на основании треугольника (рис. 142). Обозначая ВК = х, найти такое значение х, при котором площадь треугольника наименьшая.

Решение:

Пусть основание равнобедренного треугольника равно \( b \), а высота — \( h \). Площадь треугольника равна \( S = \frac{1}{2}bh \).

Квадрат вписан в треугольник так, что одна его сторона лежит на основании треугольника. Пусть сторона квадрата равна \( a \). Высота \( h \) треугольника делится на две части: \( x \) (высота от вершины до верхней стороны квадрата) и \( a \) (сторона квадрата).

Из подобия треугольников (большого и малого, образованного вершиной и верхней стороной квадрата) следует:

\( \frac{b}{2a} = \frac{h}{a} \) (поскольку \( b/2 \) — половина основания большого треугольника, а \( h \) — его высота; \( a \) — высота малого треугольника, а \( b/2 \) — его основание).

Из этого соотношения выразим \( b \): \( b = \frac{2ah}{a} = 2h \).

Теперь выразим \( h \) через \( x \) и \( a \). Высота треугольника \( h = x + a \).

Подставим \( h \) в формулу для \( b \): \( b = 2(x + a) \).

Площадь треугольника выражается как \( S = \frac{1}{2} b h \). Подставим наши выражения для \( b \) и \( h \):

\[ S(x) = \frac{1}{2} \cdot 2(x+a) \cdot (x+a) = (x+a)^2 \]

Однако, это неверно. Изображение показывает, что \( BK = x \) является высотой треугольника, а \( a \) — стороной квадрата. Основание квадрата лежит на основании треугольника. Верхние углы квадрата лежат на боковых сторонах треугольника. Обозначим высоту треугольника как \( H \). Тогда \( H = x \).

Пусть сторона квадрата равна \( a \). Тогда высота треугольника \( H = a + \text{высота над квадратом} \).

По условию, \( BK = x \). Это означает, что \( x \) — это высота всего треугольника, а \( a \) — сторона квадрата, вписанного в треугольник. Основание квадрата лежит на основании треугольника. Верхняя сторона квадрата отсекает от большого треугольника меньший подобный треугольник. Высота этого меньшего треугольника равна \( x - a \).

Из подобия треугольников имеем:

\( \frac{\text{основание большого треугольника}}{a} = \frac{x}{x-a} \)

Пусть основание большого треугольника равно \( b \). Тогда \( \frac{b}{a} = \frac{x}{x-a} \), откуда \( b = \frac{ax}{x-a} \).

Площадь треугольника \( S = \frac{1}{2} b x \).

Подставляем выражение для \( b \):

\[ S(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{ax}{x-a} \cdot x = \frac{ax^2}{2(x-a)} \]

Чтобы найти наименьшее значение площади, найдем производную \( S'(x) \) по \( x \) и приравняем её к нулю.

\[ S'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{ax^2}{2(x-a)} \right) = \frac{a}{2} \frac{d}{dx} \left( \frac{x^2}{x-a} \right) \]

\[ \frac{d}{dx} \left( \frac{x^2}{x-a} \right) = \frac{2x(x-a) - x^2(1)}{(x-a)^2} = \frac{2x^2 - 2ax - x^2}{(x-a)^2} = \frac{x^2 - 2ax}{(x-a)^2} \]

Приравниваем производную к нулю:

\[ \frac{a}{2} \frac{x^2 - 2ax}{(x-a)^2} = 0 \]

\[ x^2 - 2ax = 0 \]

\[ x(x - 2a) = 0 \]

Так как \( x \) — это высота треугольника, \( x > 0 \). Также \( x \) должно быть больше \( a \) (высота треугольника больше стороны вписанного квадрата). Следовательно, \( x \neq 0 \) и \( x \neq a \).

Единственное решение — \( x = 2a \).

Проверим, что это минимум, с помощью второй производной или знака первой производной.

Если \( x < 2a \) (и \( x > a \)), то \( x^2 - 2ax < 0 \), следовательно, \( S'(x) < 0 \) (функция убывает).

Если \( x > 2a \), то \( x^2 - 2ax > 0 \), следовательно, \( S'(x) > 0 \) (функция возрастает).

Таким образом, при \( x = 2a \) достигается минимум площади.

Ответ: x = 2a.