равна 15 см. ЕСЛИ один из его катетов увеличить на 4 см, то гипотенуза увели- чится на 2 см. Найдите катеты треугольника.

Обозначим катеты прямоугольного треугольника за $$a$$ и $$b$$, а гипотенузу за $$c$$. Тогда, согласно теореме Пифагора:

$$a^2 + b^2 = c^2$$

По условию задачи, если один из катетов (например, $$a$$) увеличить на 4 см, то гипотенуза увеличится на 2 см. Тогда:

$$(a + 4)^2 + b^2 = (c + 2)^2$$

Из условия также известно, что $$c = 15$$ см. Подставим это значение в оба уравнения:

$$a^2 + b^2 = 15^2$$

$$(a + 4)^2 + b^2 = (15 + 2)^2$$

Раскроем скобки во втором уравнении:

$$(a^2 + 8a + 16) + b^2 = 17^2$$

$$a^2 + 8a + 16 + b^2 = 289$$

Теперь у нас есть система двух уравнений:

1) $$a^2 + b^2 = 225$$

2) $$a^2 + b^2 + 8a + 16 = 289$$

Из первого уравнения выразим $$b^2$$:

$$b^2 = 225 - a^2$$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$$a^2 + (225 - a^2) + 8a + 16 = 289$$

$$225 + 8a + 16 = 289$$

$$8a + 241 = 289$$

$$8a = 289 - 241$$

$$8a = 48$$

$$a = \frac{48}{8}$$

$$a = 6$$

Теперь найдем $$b$$:

$$b^2 = 225 - a^2$$

$$b^2 = 225 - 6^2$$

$$b^2 = 225 - 36$$

$$b^2 = 189$$

$$b = \sqrt{189}$$

$$b = \sqrt{9 \cdot 21}$$

$$b = 3\sqrt{21}$$

Ответ: Катеты треугольника равны $$6$$ см и $$3\sqrt{21}$$ см.