Расстояние между пунктами A и B по реке равно 45 км. Из пункта A в пункт B по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт B, тотчас повернула обратно и возвратилась в пункт A. К моменту возвращения лодки в пункт A плот проплыл 32 км. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 4 км/ч.

Дано:

Расстояние между пунктами: \(45\) км.

Скорость течения: \(4\) км/ч.

Плот прошёл \(32\) км.

Лодка отправилась на \(1\) час позже плота.

Найти: скорость лодки в неподвижной воде.

Плот движется со скоростью течения, поэтому время его движения:

\(t_\text{плота}=32:4=8\) ч.

Лодка была в пути на один час меньше:

\(t_\text{лодки}=8-1=7\) ч.

Пусть \(v\) — скорость лодки в неподвижной воде. Тогда скорость лодки по течению равна \(v+4\), а против течения — \(v-4\).

Лодка прошла туда и обратно \(45\) км, поэтому:

\(\frac{45}{v+4}+\frac{45}{v-4}=7\).

Умножим уравнение на \((v+4)(v-4)\):

\(45(v-4)+45(v+4)=7(v^2-16)\).

\(90v=7v^2-112\).

\(7v^2-90v-112=0\).

Дискриминант:

\(D=(-90)^2-4\cdot7\cdot(-112)=8100+3136=11236=106^2\).

\(v=\frac{90\pm106}{14}\).

\(v_1=\frac{196}{14}=14\), \(v_2=\frac{-16}{14}<0\).

Скорость не может быть отрицательной, поэтому \(v=14\) км/ч.

Ответ: 14 км/ч.