Рассмотри рисунок и найди скалярное произведение указанных векторов в прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1.

Решение:

На рисунке изображен прямоугольный параллелепипед. Векторы \( \vec{i} \), \( \vec{j} \) и \( \vec{k} \) — это единичные векторы, соответствующие осям координат.

По условию задачи, необходимо найти скалярное произведение векторов \( \vec{A_1 C_1} \) и \( \vec{A D_1} \).

Представим векторы в координатной форме. Пусть точка \( A \) имеет координаты \( (0, 0, 0) \). Тогда:

• \( \vec{AB} = a \vec{i} \)
• \( \vec{AD} = b \vec{j} \)
• \( \vec{AA_1} = c \vec{k} \)

Из рисунка видно, что:

• \( A = (0, 0, 0) \)
• \( B = (a, 0, 0) \)
• \( D = (0, b, 0) \)
• \( A_1 = (0, 0, c) \)
• \( C_1 = (a, b, c) \)
• \( D_1 = (0, b, c) \)

Теперь найдем векторы \( \vec{A_1 C_1} \) и \( \vec{A D_1} \):

• \( \vec{A_1 C_1} = C_1 - A_1 = (a, b, c) - (0, 0, c) = (a, b, 0) \)
• \( \vec{A D_1} = D_1 - A = (0, b, c) - (0, 0, 0) = (0, b, c) \)

Скалярное произведение векторов \( \vec{u} = (x_1, y_1, z_1) \) и \( \vec{v} = (x_2, y_2, z_2) \) равно \( \vec{u} \cdot \vec{v} = x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2 \).

Вычислим скалярное произведение \( \vec{A_1 C_1} \) и \( \vec{A D_1} \):

\[ \vec{A_1 C_1} \cdot \vec{A D_1} = (a)(0) + (b)(b) + (0)(c) = 0 + b^2 + 0 = b^2 \]

Из рисунка видно, что длина вектора \( \vec{AD} \), который равен \( b \), равна 2 единицам сетки. Следовательно, \( b = 2 \).

Тогда скалярное произведение равно \( b^2 = 2^2 = 4 \).

Ответ: 4